De là résulte immédiatement le théorème suivant

Théorème I. — Soient un point M situé sur une surface du second ordre, MT et MT' les tangentes aux deux lignes de courbure gui se croisent en ce point. Par la droite MT' et le centre de la sur/ace menons un plan P; puis, au point où la normale élcK'ée au point M rencontre un des plans de symétrie de lasurface, un plan perpendiculaire à cette normale. Ce plancoupt le plan P suivant une droite; par cette droite menons unpl^'^ perpendiculaire au plan de symétrie considéré. Ce derm^^ plan rencontre la normale au centre de courbure de la section normale de la sur/ace qui est tangente à la droite MT(')*

5. La normale, menée à la surface par le point M, rencontre les trois points de symétrie de cette surface aux points A, B el C

Menons par ces points des droites respectivement perpendic"-

(') Ce théorème est rcxicnsion aux surfaces du second ordre d'une clégi»'* proposition due à M. MannliAÎm :

Si, au point où la normale, élevée en un point M d*une conique, rencontre un axe de cette conique, on mène une droite perpendiculaire à cette normalff la droite, passant par le point de rencontre de cette perpendiculaire fl»'^ '^ diamètre qui aboutit au point M, et menée perpendiculairement à raxe considéré, rencontre la normale au centre du cercle osculateur en M.

DÉTERMINATION DES AXEB DE L'iNDICATRICE ET DES RAYONS DE COURBURE. 525

laires à ces plans de symétrie. Ces droites, qui ont pour équation

sont trois génératrices d'un hjperboloïde H; je dirai que ces génératrices sont du système (G). Cet liypcrboloïde admet un autre système de génération (G'); trois des génératrices de ce système sont, en particulier, déterminées par les équations

Considérons le centre de courbure N de la surface, situé sur la normale au point N et correspondant à Taxe de Tindicatrice MT. La génératrice de Thyperboloïde H, passant par N et appartenant au système (G), se détermine facilement par la condition qu'elle rencontre les droites définies par les équations (6); on trouve ainsi que ses équations sont

a(a-+-X') b{b-h'k') clc-hX")

En les comparant à Téquatiou (5), on en c^mclut immédiatement que cette génératrice est perpendiculaire au plan OMT'. D'où la proposition suivante :

TnéoRÊME 11. — La normale, menée en un point M dune surface du second ordre, rencontre les plans principaux de cette sur/ace en trois points. Menons respectivement par ces points trois droites (D) perpendiculaires aux plans principaux ; elles déterminent un hyperboloïde.

Cela posé, on peut construire deux génératrices de cet

5^6 oËoxÉTRn.

hyperboloïde, appartenant au même système que les droites i^ et perpendiculaires au diamètre passant par le point M. O génératrices rencontrent la normale aux deux centres de cou bure principaux de la surf ace relatifs au point M etlespla menés par le diamètre, perpendiculairement à ces deux gén ratricesy coupent le plan tangent en M, suivant les cures l'indicatrice.

Il est à remarquer qu'en désignant par MT et MT' les tangent, à rindicatrice, et par N, N' les centres de courbure des sectio normales correspondantes, le plan mené par OM perpendiculaii ment à la génératrice de Thyperboloîde passant par le point coupe le plan langent suivant la droite MT'.

6. Les trois axes d'une surface du second ordre étant doni de position, cette surface est déterminée si Ton se donne un de points m et la normale en ce point. Ces données sont donc su santés pour obtenir en ce point les directions des axes de Tindi ^^=:=:atricc et les centres de courbure principaux.

A cet effet, on peut, pour déterminer les axes de TindicatrE. employer la construction suivante :

Soient OA et OB deux des cures de la surface du sec ordre, M la projection du point m sur le plan de ces a N et Vi) les traces sur ce même plan de la normale et du p tangent (tu point M; PQ est, comme on le sait, perpendi taire à MN.

(\instruisSons le point de rencontre G des hauteurs triangle OMN : puis, de ce point ^ abaissons des peipendT-^:^- ''~ laires Cill «7 GK sur les axes OA et OB. La droite KH, ^^^in joint leurs pieds, rencontre PÇ> au point I. Menons du poirm ^ h %ku cercle décrit sur MN comme ihamètre, une droite touck^^^ J^t ir cercle au point ï, et. du point 1 comme centre^ décrier ^:^ ^s un iYrele avant \T f>our rayon : ce cercle rencontre PQ ^^^ deu.r points U et K\

Les droites MB et MB' sont les projections sur le plan O.-^i^ des «IJVA de I indicatrice ttu /H>int M.

OiTBBJIIHATIOH DES AXES DE L'iKDlCATBlCE ET DES RAYO^a DK COrilDUnK, 5l-}

.£)émonstration. — Soient mL un des axes de l'indicatrice au nom m fn et F te centre de courbure de la section normale corres- K>OKxdante. Deux des normales, que l'on peut mener du point F â 1^ surface, ont leurs pieds en m et un point m' situé à une distance iE>Cïninient petite, snr l'axe mL; on sait d'ailleurs que les pieds

^^^ normales, le point F et les quatre somniets du tétraèdre formé V*^ K- les plans principaux de la surface et le plan de l'infini, sont ** *- «Jés sur une même cubique gauche. Il en résulte que, si l'on joint ^ ^iot m au point m', au point F et aux quatre sommets du lé- '~^^re, on a six droites situées sur un même cdne du second

Xd d'autres termes, les droites menées par le point m parallèle-

^^^Sniaux axes de la surface, la normale en ce point, le diamètre

■^^^ssuit par ce point et l'axe de l'indicatrice m T, sont sur un même

^^ ne du second ordre. On voit que ce cône est circonscrit à un

*"»*dre trireclangle ; par suite, et en vertu d'une proposition bien

^-^nnue, le deuxième axe niT' de l'indicatrice au point m, étant

•* ^* rpe n dieu lai re aux deux généralrices mï et mV du cône, est

^Salement situé sur ce cùne.

Considérons les traces de ces six droites sur le plan OAB; elles ^^n[ situées sur une même conique ; d'où cette conclusion :

Les traces des axes de l'indicalr icc sur le plan OAB sont donnéc:> t-^^rl'inlersection de la droite PQ avec l'hyperbole éqtiilatère pas- ^^nt par les points O, M, N. et ayant ses asymptotes parallèle» aux ^»oilesOAetOB.

SlS GÉOMÉTRIE.

Pour conslruire ces polnls d*ÎDlersecl!on, je remarque que I» f \^ point G, où se reoconlreol les hauteurs du triangle OMN, ^s^^^^esi situé sur cette hvperbole. Si donc du point G on abaisse des pem ^^^,,, pendiculaires sur les axes OA et OB, la droite HK, qui joint leiii» m ^i^s pieds, est le diamètre de Thyperbole conjuguée à la direction PC^ ^ a En eflet, cette droite fait avec les ax^s des angles égaux à ceuxf|CL^ m^ç fait avec ces axes la droite PQ, et, de plus, elle passe par /^

point milieu de la corde OG de Thyperbole, corde parallèle à PC^^O Le point I, où KH rencontre PQ, est donc le point milieu desde^K^^/^ points R et H', où les axes de Tindicatrice rencontrent la trace ^^c/a plan tangonl.

Pour achever de déterminer ces points, je remarque que l'an^^/c R/nR' est droit. Considérons la perpendiculaire abaissée du poinU m sur PQ ; le pied de cette perpendiculaire est le point S, où E^Q rencontre MN. On «i

SR.SR =mS =SM.SN; •

ou bien encore, si Ton désigne par (o le centre du cercle déc^ ■" "*^ sur MN comme diamètre, et par p le rayon de ce cercle,

Îr'— ÏS* = sâ)* - p*;

d'où Ton conclut que les cercles, décrits respectivement sur et MN comme diauiclres, se coupent à angle droit; et de là rés immédiatement la construclion que j'ai donnée ci-dessus.

lie

7. Pour déterminer maintenant les projections sur le plan des centres de courbure principaux de la surface au point m suffit d'inscrire une parabole dans chacun des quadrilatères for respectivement par les droites OA, OB, MN, MR et OA, OB, \ MIV. Les points de contact de ces paraboles avec la droite sont les projections cherchées des centres de courbure principa et ils se déterminent, comme on le sait, très facilement au mo de simples lignes droites.

Celte construclion est justifiée par le théorème suivant :

Si, sur le plan de deux des axes de symétrie OA et d'une surface de second ordre , on projette la normale en t^ ^^ point ni dj cette sur/ace et l'un d^s axe rf? r indicatrice c^ ^^

ea

infAnON DBS AXES DE l'iNDIGATRICE ET DKS RAYONS DE COURBURE. 639

t, la parabole, tangente aux projections de ces deux et aux axes OA et OB, touche la projection de la nori un point qui est la projection du centre de courbure 'ction normale passant par Vaxe de V indicatrice con-

mstration, — Soienl mh l*axe de l'indicatrice considérée ;eDtre de courbure principal correspondant. Comme je Tai pelé, deux des normales que Ton peut abaisser du point F irface ont leurs pieds au point m et au point m' situé à mce infiniment petite sur ML.

le pied d'une autre normale quelconque passant par le on sait que les sommets du tétraèdre Fmm'p et du tébrmé par les plans principaux de la surface et le plan à 3nt situés sur une même cubique gauche, lite, en vertu d'un théorème connu, les faces de ces tésont osculatrices d'une autre cubique gauche, et le plan iriucipal F mm' est coupé par les sept autres faces suivant ites tangentes à une même conique.

utres termes, le plan normal principal passant par mh

> trois plans principaux de la surface suivant trois droites.

droites et la normale au point m sont tangentes à une

touchant la normale au point F; par suite, les projections

droites et de la normale sont tangentes à une parabole

la projection de la normale, au point qui est la projection

)ii la proposition énoncée ci-dessus.

- II. 34