PAR DES COURBES PLAJ^ES

Bulletin de la Société mathématique de France; 1877.

1. Dans toul ce qui suil, je considérerai s, ^ et les quamt^iti^ analogues comme des quantités égales à Tuoité et introduiitcs seulement pour rendre les formules homogènes.

Cela posé, A, B et C désignant trois polynômes du n**"* dogw par rapport à x et^ et liés par la relation

(i) Aar-h B^-f-C4f = o,

on voit qu'en faisant varier \ et y), l'équation (2) AÇ-t-Br, h-G; = o

représente une infinité de courbes du n**"* degré. Ces courbes forment un réseau, et l'on pourra généralement, par deux points pris arbitrairement dans le plan, faire passer une courbe appartenant à ce réseau.

Une telle courbe est déterminée par les valeurs particulières qoc Ton donne à $, y|, ÎJ; il est clair d'ailleurs, en vertu de r<^quation (i), que le point M, dont les coordonnées sont Ç, yj, Ç, app^" tient à celte courbe; je dirai que le point M est son point pnncipal.

Une courbe du réseau singulier (2) est évidemment détermiD^^ par son point principal.

2. Toutes les courbes du réseau ont en commun tous les points communs aux courbes A := o et C := o.

SUR CERTAINS RiSEAUX SINGULIERS FORMÉS PAR DES COURBES PLANES. 53 1

>ur déterminer le nombre de ces points, je remarque que, si désigne respectivement par P et par Q l'ensemble des termes legré /i, par rapport k x ei yy dans A et B, on a identiquet, en vertu de la relation (i),

Par -H Qjr = o.

i donc, U désignant un polynôme homogène et du degré (n — i) rapport k x ety

P = Uj^ et Q= — Ux.

sla posé, les courbes A = o et B =: o se coupent en n^ points en vertu de (i), se trouvent sur la courbe G^ = o; des rela- > (3) il résulte, d'ailleurs, que {n — i) de ces points dMnteron se trouvent sur la droite de Tinfini z = o\ les (/ï* -7- n -h i) 3s points d'intersection se trouvent donc à la fois sur les trois bes A = o, B = o et G = o.

où la conclusion suivante :

^utes les courbes du réseau passent par [n^ — n + i) points

dirai que ces points sont les pivots du réseau.

En vertu des équations (i) et (2), on voit que l'équation e quelconque des courbes du réseau peut se mettre sous la e

Y| étant les coordonnées de son point principal. )it

autre courbe du réseau ayant pour point principal (^', 7\^); et B ne sont pas nuls en même temps, pour tout point comaux deux courbes, on aura

où la proposition suivante :

dépendamment des (n^ — n H- i) points qui leur sont corn-

muns, deux courbes quelconques du réseau se coupent en (a— i) autres points qui sont situés sur une même droite. Le /i'*"* point où cette droite rencontre l'une quelconque des courbes est k point principal de cette courbe.

4. De là se déduisenl iramédialcment quelques corollaires doQl la démonstralion est immédiate et quMl suffit d'énoncer :

i** Si deux courbes du réseau se coupent en {n — i) pc^/^ts distincts des pivots, on peut par ces {n — i) points faire pa^^^^ une infinité de courbes du réseau; les points principaux de ^^^ courbes sont situés sur la droite contenant les (n — \) pos^^ d'intersection .

2° Etant donnée une courbe quelconque du réseau ay pour point principal le point M et étant pris arbitrairem dans le plan le point P, si l'on mène PM, cette droite rencon la courbe en (n — i) points distincts du point M; ces {n points et le point P sont situés sur une courbe du réseau ay pour point principal le point P.

5. Les résultats qui précèdent peuvent encore s'énoncer ain Étant donnée une droite dans le plan, les courbes du réseau, q ont pour points principaux les différents points de la droite, o en commun {n — i) points situés sur cette droite; je les appelle pour abréger, \es points centraux de la droite.

Cela posé, on peut énoncer la proposition suivante :

Si une droite tourne autour d'un point fixe, le lieu de s points centraux est la courbe du réseau ayant ce point Jix^ pour point principal.

6. Etant pris un point quelconque M dans le plan, imaginon la courbe du faisceau aj'ant pour point principal le point M e menons par ce point les tangentes à la courbe dont le point de contact est distinct de M.

Je dis que ces droites sont tangentes à une même courbe K. Ed effet, MA étant Tune de ces tangentes et A. le point où elle louche la courbe, si l'on désigne parMi un point quelconque de la droite MA : la courbe du réseau ajant M^ pour point principal passe par