SUR CERTAINS RÉSEAUX SINGULIERS FORMÉS PAR DES COURBES PLANES
les (/t — i) points dîstincls de M où la première courbe coupe MA : elle rencontre donc MA en deux points confondus en A, et lui est ingénie en ce point. Les deux faisceaux de droite émanant du >oint M et du point M| ont donc la droite MA en commun et la proposition est démontrée.
On peut, d'ailleurs, du point M, mener à la courbe du réseau uî a M pour point principal (n^ — n — 2) tangentes ayant un oint de contact distinct de M.
D'où le théorème suivant :
7, de chaque point M du plan, on mène à la courbe du ré- *€M,9i ayant ce point pour point principal les tangentes dont le '>£Mitde contact est distinct de M, toutes ces droites enveloppent '^^ même courbe K, qui est de la classe (/i* — n — 2).
Supposons le point M choisi de telle sorte que la courbe du «au, qui a M pour point principal, possède un point double : des tangentes issues du point M coïncideront, d'où il suit que point M est situé sur K.
X)'où celte conclusion :
^dM courbe K est le lieu des points principaux des courbes du sseau qui possèdent un point double.
Si la courbe du réseau ayant (Ç, y^) pour point principal a un ^înt double, on a simultanément les trois équations
'dX dB ^dC
^d^-^'^Tx-^^Tx^''^
„ c?A dfB ^ d(à
X. l'équation de la courbe K s'obtiendra en éliminant x^ y ei z 'titre ces trois relations.
D'où il suit que :
La courbe K est du degré 3(n — i ).
8. Des considérations qui précèdent résulte encore la proposition suivante :
Si, de chaque point M du plan, on mène à la courbe du ré-
OéOMéTRIS.
seau dont ce point est le point principal les tangente dont k point de contact est distinct de M, les points de contact de toutes ces tangentes sont situés sur une même courbe H, qui est aussi le lieu des points doubles des courbes du réseau.
Il est facile de démontrer analjtiquement ridenlité de cesdeui lieux.
11 est clair, en effet, que Téqualion du lieu des points doubles du réseau s'obtient en éliminant ^, y\, ^ entre les équations (4)') cette équation est donc
dk dB dC dx dx dx
dk dB dC dy dy dy
dk dB dC dz dz dz
ou
dk dB dC dx dx dx
d\ dB dC dy dy dy
