ET DES

FOCALES DES CONES ALGÉBRIQUES.

Nouvelles Annales de Mathématiques; 1879.

1 • Je m'appuierai sur la proposition suivante, que j'ai donnée ^^*ïs ma Note Sur les polaires d'une droite relativemeut aux ^ou^bes et aux surfaces algébriques ( * ).

Étant données deux courbes quelconques K*" et K", de classes

^^Sf^ectiçement égales à m et à n^ la polaire d'un point quel-

^^nque M, relativement aux mn tangentes communes à ces

^Oiirbes, est la polaire du même point relativement aux

^^n droites, qui joignent les points de contact des tangentes

^^enées de M à R*" aux points de contact des tangentes menées

^u même point à K".

Supposons, pour fixer les idées, que K'* soit une courbe réelle ^ou du moins ayant une équation réelle), et soient F|, F2, ..., F;,, ses m foyers réels; supposons, en outre, que K" se réduise aux deux ombilics I et J du plan (^).

Les tangentes communes à K'" et à R" se composent des sys-

(') Bulletin de la Société mathématique, t. III, p. 174. (') J'appelle ainsi, pour abréger, les deux points situés à Tinfini et communs i tous les cercles du plan.

538 OKOMKTRIE.

trmes de droites Isotropes, se croisant aux foyers F|, F^y . .., Fn. Étant donné un point quelconque M du plan, sa polaire relativement aux deux droites isotropes issues du foyer F/ est la droite menée par ce point perpendiculairement à MF/; donc la polaire de M relativement aux tangentes communes à K"* et à K" est h polaire de ce point relativement aux m droites menées respectivement par chacun des foyers perpendiculairement à la droite qui joint ce foyer au point M.

Considérons d'autre part les diverses droites isotropes qui passent par les points de contact des tangentes menées du poiDtH à K"; T désignant Tun quelconque de ces points de contact, la polaire du point M, relativement aux deux droites isotropes se croisant au point T, est la normale menée à la courbe en ce point.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Étant donnée une courbe de nV^ classe y la polaire d^ un point quelconque M du plan, par rapport aux droites menées tespectivement par chacun des m foyers réels de la courbe perpendiculairement à la droite qui joint ce foyer au point M,i^ confond avec la polaire de ce même point relativement aux droites menées normalement à la courbe aux points de contact des diverses tangentes issues du point M.

Celte proposition peut encore s'énoncer sous la forme suivante:

Si par un point M, p/us dans le plan d'une courbe de classe m, on mène les nm droites tangentes à la courbe, '^ centre harmonique des n points de contact relativement au point M est le même que le centre harmonique des m foy^^^ réels (*).

Mais cet énoncé, plus concis, est souvent d'un usage moins facile dans les applications, et Tautre, comme je le ferai voi^ s'étend sans difficulté aux cônes algébriques.

( ' ) Voir à ce sujet ma Note Sur la détermination du rayon de courbure dt* lignes planes {Bulletin de la Société philoniathique, février 1875).

SUR QUELQUES PROPRIÉTés DES FOYERS DES COURBES ALGÉBRIQUES. 539

Ud des cas particuliers les plus inlëressants est celui où tous »jers de la courbe sont à Tinfini. On a alors ce théorème :

par un point M, pris dans le plan d^une courbe ayant ses foyers à l'infini, on mène les tangentes à la courbe, les normales aux points de contact, la polaire du point M ivement à ces normales est située à l'infini.

nsi, en particulier, l'hypocycloïde à trois points de rebrousnt ayant tous ses foyers à Tinfini, on a la proposition sui-

par un point M, pris dans le plan d'une hypocycloïde à

points de rebroussement, on mène les tangentes à la

^e, puis les normales aux points de contact, ces normales

ent un triangle dont le centre de gras^ité est le point M.

Comme application, je déduirai de là un beau théorème dû Liouville :

ient une droite D et une courbe A de degré m assujettie à ule condition de ne pas passer par les ombilics du plan.

nsidérons une droite de longueur constante R et se déplaçant [le sorte qu^une de ses extrémités décrive la droite D, tandis 'autre décrit la courbe A. L'enveloppe de cette droite est une »e K ayant tous ses foyers à Tinfini; en effet, la droite ne peut r par un ombilic que quand elle se confond avec la droite de li; dans toute autre position, la longueur interceptée entre nt où elle rencontre D et Tun quelconque des points où elle ntre A est évidemment nulle, puisque cette courbe ne passe ar les ombilics.

t maintenant un point quelconque M pris sur la droite D; hons les tangentes que Ton peut mener de ce point à la le K. Je remarque d'abord que D est elle-même une tangente pie à cette courbe; je désignerai par rf, rf', ... ses divers s de contact.

second lieu, si, du point M comme centre avec R comme , nous décrivons un cercle rencontrant la courbe A aux 5 a, a', a", ..., les diverses droites Ma, Ma', Ma", ... t aussi tangentes à K.

54o GÉOMÉTRIE.

Considérons en particulier une de ces tangentes, Ma par exemple; si au point M nous menons une perpendiculaire à D el au point a une normale à la courbe A, nous savons, en désigaaDl par a le point de rencontre de ces deux droites, que la normale, menée à Tenveloppe de la droite de longueur constante aM au point où elle touche son enveloppe, passe par le point a.

4. Du théorème général que j'ai donné plus haut (nM), il résulte que, Tenveloppe K ayant tous ses fojers à Pinfini, si l'oo construit la polaire du point M relativement aux droites menées en d^ d\ ... perpendiculairement à O et aux droites menées Dormalement à K aux points où les droites Ma, Ma', ... louchenl cette courbe, cette polaire est située à Tinfini.

En particulier, menons par le point M une sécante perpendiculaire à D; elle rencontrera les droites issues des points (/, (f, ••• en des points situés à Tinfini et dont il n'y a pas à tenir compte, puis les normales élevées aux points de contact de Ma, Mo', Ma'', . . . avec leur enveloppe au point a et en d'autres points analogues a', 7." ^ ... ; on aura donc la relation

Si l'on remarque maintenant que, la droite D ayant une direction arbitraire, il en est de même de la direction de la sécante qui lui est perpendiculaire, on pourra énoncer ce beau théorème, dû à M. Liou ville :

Si, aux différents points où un cercle rencontre une courba plane, on mène des normales à cette courbe, la polaire "" centre du cercle relativement à ces normales est située 0. l'infini,

o. Je considérerai encore, comme application, un système de coniques liomofocales ayant pour foyers les deux points F et F*

Soit M un point quelconque du plan; considérons les droil€=* passant par les points F et F' et respectivement perpendiculaires aux directions MF et MP''. Si Ton désigne par A la polaire d" point M relativement à ces deux droites, on voit que :

Si du point M on mène des tangentes à l'une quelconque ^^

SUR QUELQUES PROPRIÉTés DES FOYERS DES COURBES ALGÉBRIQUES. 54 1

coniques qui ont pour foyers les points F et F', puis les normales aux points de contact, la polaire des points M relativement à ces deux normales est la droite fixe A.

En particulier, la polaire du point M relativement aux deux normales passe par le point de rencontre de ces normales. D*où le théorème suivant :

Siy d^un point M, on mène des tangentes à l'une quelconque des coniques qui ont pour foyers les points F et F' ^ puis les normales aux points de contact, le lieu des points de rencontre de ces normales est une droite.

Il est clair que cette droite passe par les centres de courbure des deu:i coniques homofocales qui se croisent au point M.

6- ï-.es deux points F et F' étant donnés, on voit qu'à chaque point M du plan correspond une droite A qu'il est facile de construire.

Réciproquement, à chaque droite A correspondent, comme on le dt*montre aisément, trois points M. Si une droite A tourne autour d'un point fixe N, le lieu des points M correspondants est xinc courbe du troisième ordre passant par les ombilics, par conséquent une anallagmatique et de Tespèce particulière que j'ai étudiée sous la dénomination de cassiniennes (*).

Cette courbe H peut évidemment être aussi définie de la façon suivante :

Étant donné un point fixe N du plan, considérons une quelconque des coniques qui ont pour fojers deux points donnés F et F', puis abaissons du point N les quatre normales à la courbe. Les tangentes en ces points forment un quadrilatère complet dont les six sommets décrivent la courbe H lorsque la conique varie.

7. Je rappellerai brièvement la définition et les propriétés principales des cassiniennes.

Une cassinienne est généralement une courbe anallagmatique

(') Sur les cassiniennes planes et sphériques {Bulletin de la Société philomat hique, mars 1868).

du quatrième ordre dont les divers points peuvent se disiribuer en couples jouissant des propriétés suivantes :

1° Le lieu des conjugués harmoniques d'un point quelconque du plan, relativement à chacun des couples de points conjugaés d'une cassinienne, est un cercle.

En particulier, le lieu des points milieux des cordes qui joignent les points conjugués est un cercle.

2^ H existe dans le plan deux points jQxes jouissant de la propriété que ces deux points fixes et deux points conjugués quelconques se trouvent sur un même cercle qu'ils partagent harmoniquement.

Dans le cas où le cercle, lieu des points milieux des cordes qui joignent les points conjugués, se réduit à une droite, le degré de la courbe s'abaisse au troisième, et Ton a une cassinienne cabique.

Si Ton joint un point quelconque d'une telle courbe à denii couples de points conjugués, on obtient deux couples de droites ayant mêmes bissectrices.

La courbe H, définie ci-dessus, est une cassinienne cubique, et l'on a la proposition suivante :

Si d'un point fixe N, pris dans le plan, on abaisse des normales sur rune quelconque des coniques qui ont pour fojtn deux points fixes F et F', les tangentes menées en ces points forment un quadrilatère complet. Les trois couples de sommets opposés de ce quadrilatère complet sont trois couples dépeints conjugués d'une même cassinienne cubique, que ces sommets décrivent quand on fait varier la conique ( * ).

(') Les tangentes, menées aux pieds des normales, roulent en même temps SQ^ une parabole fixe.

Considérons, en efTcl, une conique C et lu parabole P qui est l'enTelcppe <^^ polaires d'un point donné M par rapport aux diverses coniques qui ont lesmèines foyers que C. Los tangentes communes à C et à P touchent C en quatre poioU et les normales en ces points passent par le point M.

Celle propriété s'établit aisément en s'appuyant sur une importante proposition due à M. Chasles :

Les pôles d'une droits fixe, par rapport à un système de coniques homofO" cales, sont situés sur une même ligne droite normale à une des coniques du système.

J'ajouterai que le foyer de la parabole P est le point conjugué harmonique ^^^^ point M relativement aux foyers de la conique C.

De nombreuses propriétés des normales à un système de coniques faomofocales découlent immédiatement de la proposition précédente, mais je nMnsisterai pas ici sur ce point, qui demande quelques développements et sur lequel je reviendrai dans un autre article; je me contente de le mentionner en passant.

8. On peut facilement étendre aux cônes algébriques les propositions qui précèdent.

Le théorème fondamental que j'ai rappelé plus haut (n^ 1) peut, en effet, s'énoncer de la façon suivante :

Étant donnés deux cônes algébriques C et G ayant même sommet S et une droite quelconque D passant par ce sommet, considérons les divers plans que par la droite D on peut mener iangentiellement au cône C; soit (I) r ensemble des arêtes de contact. Appelons de même (F) V ensemble des arêtes de contact des plans menés par D tangentiellement au cône C; puis imaginons que par chacune des arêtes (I) et chacune des arêtes (F) on fasse passer un plan; on aura ainsi un ensemble de plans que je désigne par (P).

Cela posé, le plan polaire de la droite D relativement au système de plans (P) se confond avec le plan polaire de cette même droite relativement aux plans tangents aux deux cônes,

Siip|)Oson8, pour fixer les idées, que C soit un cône réel (ou du moins ait une équation réelle) et que F|, F2, F3, . .. désignent ses droites focales réelles, que de plus G' soit un cône isotrope.

Les plans tangents communs aux deux cônes sont les plans isotropes passant par les droites F|, F2, F|, ... ; le plan polaire de D relativement aux deux plans isotropes qui se coupent suivant l'une quelconque de ces droites, F| par exemple, est le plan passant par F| et mené perpendiculairement au plan de F| et de D.

D'autre part, si T|, Tj, T,, . . . désignent les arêtes de contact des plans menés par D tangentiellement au cône C, les divers plans dont j'ai désigné ci-dessus Tensemble par (P) sont les plans isotropes passant par les droites T|, T2, T|, ... ; le plan polaire de D relativement aux deux plans isotropes qui se coupent suivant

544 OÉOXÉTEUB.

Tune de ces droites, T, par exemple, est le plan passant pari, mené perpendiculairement au plan de T| et de D. Par suite, on peut énoncer la proposition suivante :

Étant donné un cône algébrique et une droite quelconque^ passant par le sommet de ce cône, par chacune des focaksdu cône faisons passer un plan perpendiculaire au plan qui contient celte focale et la droite D; soit (P) V ensemble des plans ainsi obtenus.

Cela posé, le plan polaire de D relativement aux plans (P) se confond avec le plan polaire de cette même droite relativement aux plans menés normalement au cône par les arêtes de contact des divers plans que l^on peut par D mener tangentiellement à ce cône,

9. Comme application, considérons l'un quelconque des cônes du second ordre qui ont pour focales réelles deux droites données F et F'. Soient D une droite quelconque passant par le sommet du cône el A le plan polaire de D relativement aux plans passant par F et F', et respectivement perpendiculaires aux plans déterminés par les droites FD et les droites F'D.

Si par O on mène deux plans tangents au cône, puis des plans normaux par les arêtes de contact, le plan polaire de D relativement à ces plans normaux est le plan A.

En particulier, la droite d'intersection des plans normaux est dans le plan A. Donc :

Étant donnés un système de cônes homofocaux du second ordre et une droite fixe passant par le sommet de ce cône, si par cette droite on mène des plans tangents à l'un des cônes du système, puis des plans normaux par les arêtes de contact, h droite suivant laquelle se coupent les deux plans normaux décrit un plan lorsqu^on fait varier le cône,

10. Si par une arête d'un cône on imagine le plan normal à ce cône, puis le plan mené normalement par Tarête inGniment voisine, l'intersection de ces deux plans est l'axe d'un cône de révolution osculateur du cône donné le long de l'arête considérée. Nous l'appellerons Vaxe de courbure du cône suivant cette arête.

SUR QUELQUES PROPRléTÉS DES FOYERS DES COURBES ALGÉBRIQUES. 545

la posé, il est clair, diaprés ce qui précède, que le plan A miné comme je Tai dit, et qui correspond à la droite D, conles axes de courbure des deux cônes homofocaux du s^^stèmc é qui se coupent suivant la droite D, et de là découle un m simple de construire Taxe de courbure d'un cône du second ^ suivant une arête donnée, lorsque Ton connaît les focales de ^ne.

ferai même observer que la connaissance du plan A fait cone non seulement Taxe de courbure, mais encore Taccélération )urbure, et que des considérations de tout point semblables cliquent aux cônes de tous les degrés; je ne crois pas utile l'étendre davantage sur ce sujet.

. Le théorème de M. Liouville, dont j'ai donné plus haut la DDStration (n® 3), s'étend aussi à un cône algébrique quel- |ue, en considérant l'intersection de ce cône avec un cône de lution.

D obtiendrait facilement cette généralisation, au moyen des

rèmes précédents, en considérant la surface enveloppée par le

déterminé par deux droites faisant un angle constant et dont

des côtés décrit un cône pendant que l'autre se meut dans un

passant par le sommet de ce cône.

ais le théorème auquel on parvient ainsi se complique, à cause Ole qu'y jouent les plans cycliques du cône; il n'a ni la simté ni l'utilité de celui de M. Liouville, et je ne crois pas devoir enlionner ici.