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LES AXES DES COMOUES. b^-J

m M mobile sur celle conique, si, aux poinls milieux des des AM et BM, on élève des perpendiculaires à ces cordes, segment, intercepté sur l'un quelconque des axes de la ique par ces perpendiculaires, demeure constant quand le nt M se meut sur la courbe.

supposons que le point M vienne ^iicceiisivement coïncider avec 11 points donnés C et D de la coiii(|iie; on aura la proposition van le :

V, B, C et D étant les sommets d'un quadrangle inscrit dans s conique, aux points milieux des cordes AC, BC, AD et BD, vons des perpendiculaires à ces cordes et désignons respecsment par A', B', A" et B" ces perpendiculaires; cela posé, segments, interceptés sur l'un quelconque des axes de la tique par les perpendiculaires A! et B' d'une part et par les -pendicataires A" et B" d'outre part, sont égaux entre eux.

Il est clair que, le quadrangle ABCD étant donné, on pourrait i.sidéier d'autres cordes que celles que je viens de considérer et i donneraient lieu à des propositions semblables. En eiaminant te question, on voit facilement que ces propositions sont conlaes dans le théorème suivant :

K, B, C «/ D étant les sommets d'un quadrangle inscrit dans e conique, désignons par a, ^, ^ et 5 les centres des cercles conscrits aux quatre triangles que l'on peut former avec is quelconques de ces sommets. Cela posé, les trois couples côtés opposés du quadrangle formé par les points a, p, yefS erceptent, sur l'un quelconque des axes de la conique, trots ments dont le point milieu est le même.

I. On sait, par le théorème de Desargues, que gonéralement les côtés d'un quadrangle sont coupés par une droile quelconque six points en iovolution; on voit ici que les six côtés du quangle a^yS sont coupés, |iar un axe quelconque d'une des lîques passant par les quatre points A, B, C et D, en six points mant une involulion dont un des points doubles est rejeté à Hni.

maginons tes deux coniques circonscrites au quadrangle ABCD

et langeiiles à cet axe; leurs points de contact avec celle droite sont précisément les deux points doubles de Tinvolu lion dont je viens de parler; Tune de ces coniques est donc asjmptole de Taie.

En d^aulres termes :

Un axe quelconque d*une conique circonscrite an quadrangle A6CD est une asymptote d^une conique circonscrite ao qoadrangle a^yS.

4. Pour abréger le discours, étant donné un quadrangle quelconque ABCD, je désignerai sous le nom de quadrangle dérivé le quadrangle dont les sommels sont les centres des cercles ci^ conscrits aux triangles ÂBC, BCD, CDA et DAB.

On peut donc dire que :

L'enveloppe des axes des coniques circonscrites à un quadrangle donné est r enveloppe des asymptotes des coniques circonscrites au quadrangle dérivé.

5. Soient a^y^ "^ quadrangle donné et K la courbe enveloppée par les asymptotes des coniques circonscrites à ce quadrangle.

Une telle courbe peut être engendrée de cette façon d*une infinité de manières. Considérons, en effet, une quelconque des coniques circonscrites au quadrangle et soient D et D'sesdeoi asymptotes; nous dirons que ces deux droites sont deux tangentes conjuguées de la courbe. Cela posé, on sait (*) que, si Ton considère deux couples quelconques de tangentes conjuguées, ces deux couples se rencontrent en quatre points formant un quadrangle Q et que les asymptotes des coniques circonscrites à ce quadrangle enveloppent la courbe K.

Si donc on construit le quadrangle Q' ayant pour dérivé le quadrangle Q, les axes des coniques circonscrites à Q' envelopperont la courbe K, et Ton obtiendra toutes les façons semblables d^engendrer cette courbe en considérant tous les quadrangles qui ont pour dérives les divers quadrangles Q.

(') Voir SiKiNKii, Leber eine besondere Curve driUer KUtsse und vierten Grades {Journal de Crelle, t. 53, p. i3i) cl Crkmona, Sur l*hypocycloide à trois rebrousstments {Ibid., t. 64, p. loi).

COURBE ENVELOPPEE PAR LES AXES DES CONIQUES. S^ij

6. La projection orthogonale d'une courbe K, sur un plan quelconque, est évidemment une courbe de la même espèce.

Soient A, B, C et D quatre points donnés et K l'enveloppe des ftxes des coniques passant par ces points; désignons par K' la proection de cette courbe sur un plan P, cette projection peut être considérée comme l'enveloppe des axes des coniques passant par quatre points A', B', C et D' que l'on construira de la façon suivante :

Dans le plan du quadrangle ABGD, imaginons le quadrangle dérivé a^v8 et projetons ce dernier quadrangle sur le plan P; soit a'p'y'ô' cette projection. Il est clair, d'après ce que j'ai dit plus haut, que les points cherchés A', B', C et D' seront les sommets du quadrangle qui a pour dérivé a'^'y'S'.

7. Il peut être utile dans certains cas de construire le quadrangle qui a pour dérivé un quadrangle donné a^y^*

Soient A, B, C et D les sommets du quadrangle cherché; en sorte que a désigne, par exemple, le centre du cercle circonscrit au triangle BCD, ^ le centre du cercle circonscrit au triangle ACD, etc.

On voit immédiatement que le symétrique du point A relativement à la droite p3 est le point C et que le symétrique du point C relativement à la droite ^a est le point D; on a donc les deux relations suivantes

les points A et D étant d'ailleurs aussi symétriques par rapport à la droite ^y, on a également

A ?Y -4- D Py = o-

Chacune des trois relations précédentes doit être vérifiée à un multiple près de 2Tt; on en déduit facilement

•2A[Jy = 2(o^Y — ^Pï) = »^?«»

d'où

aPy = 5Pï,

relation qui doit être vérifiée à un multiple près de t.

Cette dernière relation détermine une droite contenant le

lr.\.>^

Lut-

55o GÉOMÉTRIE.

point A; la relation

que Ton obtient d\ine façon analogue, détermine udc seconde droite contenant le point que Ton peut ainsi construire facilement. On construirait de même les autres sommets B^ C et D du quadran<;l(* clierché.

8. l)(ins le cas particulier où le quadrangle a^yS est formé des sommets d*un triangle et du point de rencontre des hauteursdece triangle, on sait que Penveloppe des asymptotes des coniques qui passent par ces quatre points est une hypocjcioïde à trois pomls de rebroussemont. I y^'^-

Le quadrangle ABCD, qui a pour dérivé a^yS, est alors le syffie* trique de ce dernier quadrangle relativement au centre de Vhyp^ cvcloïde.

On voit donc que :

Si Von considère les trois sommets d^ un triangle elle p^^^ de rencontre des hauteurs de ce triangle y les asymptotes ^ coniijurs passant par ces quatre points enveloppent une k^r cycloïdr à trois points de rebroussement, tandis que les ^^ de ces courbes ensreloppent la courbe symétrique de cette h^'r cycloïde relatii-ement ù son centre.

9. Considérons une conique quelconque C et un axe A de c ^ conique; soient M et M' deux quelconques de ces points. Pa -^ milieu I du segment MM' menons une perpendiculaire à cette dr^^^ et soit H le point où cette perpendiculaire rencontre Taxe. Ii -^ ' ginons maintenant que la conique, en tournant autour de Taxe ^^ engendre une surface de révolution; les deux points M et engendrent deux parallèles de cette surface et la sphère conteo^^^^ ces deux parallèles a pour centre le point H. Si donc on pre respectivomt'nt sur ces deux parallèles deux points arbitraires

et m'y on voit qtie le plan, mené par le milieu du segment mm' perpendiculairement à ce segment, passe par le point H.

De celte remarque et de la proposition que j'ai rappelée pi haut (n*' H) résulte immédiatement le théorème suivant :

fêtant donnes sur une sur/ace du second ordre de révolutio "^^

COURBE ENVELOPPÉE PAR LES AXES DES CONIQUES. 55l

^eux points fixes A et B et un point mobile M, si, par les points wmilieux des cordes MA et MB, on mène des plans perpendiculaires à ces cordes y le segment que ces plans interceptent sur ^^axe de révolution de la surface est un segment dont la longueur demeure constante lorsque le point M se déplace,

La même propriété a lieu évidemment relativement à une courbe «quelconque tracée sur une surface de révolution du second ordre, lorsque Ton considère sur cette courbe deux points fixes A et B et un point mobile M.

£d particulier :

Une courbe quelconque étant tracée sur une surface de révolution du second ordre y considérons deux points quelconques M et N situés sur cette courbe. Menons les plans normaux à la courbe aux points M et N et désignons respectivement par m et n les points où ces plans normaux rencontrent V axe de révolution de cette surface; soit de plus H le point où le plan mené par le milieu de la corde MN et perpendiculairement à cette corde rencontre cet axe. Cela posé y le point H est le milieu du segment mn,

10. Considérons une ellipsimbre droite (*), c'est-à-dire la courbe résultant de Fintersection de deux surfaces du second ordre ajant trois axes comni*ins que Ton peut appeler les axes de Tellipsimbre.

On sait que cette courbe peut être placée sur une surface du second ordre de révolution ayant l'une quelconque de ces trois droites pour axe de révolution.

Donc :

Étant donnée une ellipsimbre droite et deux points quelconques M e/ N pris sur cette courbe, les plans menés normalement à la courbe aux points M e^ N interceptent sur les trois axes de V ellipsimbre trois segments; le plan passant par leurs points milieux passe par le point milieu de la corde MN et lui est perpendiculaire.

(*) Expression employée d*abord par Frézier et adoptée par M. de la Gouraerie dans ses Recherches sur les surfaces tétraédrales.

Soi GÉOMÉTRIE.

1 1 . Soit s une surface de révolution du second ordre ajantponr axe la droite A, et soient A, B, C et D quatre points quelconques situés sur cette surface. Les plans menés par les milicui des cordes AB et BC et perpendiculairement à ces cordes interceplenl sur Taxe A un segment qui (n^ 9) est égal au segment intercepté sur la même droite par les plans menés, par les milieux des cordes AD et DC, perpendiculairement à ces cordes; d'autres propositions semblables s'obtiendraient en considérant les diverses droites qui joignent deux à deux les sommets du tétraèdre ABGD.

Ces diverses propositions peuvent être résumées dans le théorème suivant :

A, B, C e^ D étant les sommets d'un tétraèdre inscrit dœ mx une surface de révolution du second ordre, considérons ^^% perpendiculaires abaissées sur les faces de ce tétraèdre far le centre de la sphère qui lui est circonscrite ; les trois couples ^ plans opposés que Von peut mener par ces quatre droites interceptent sur l'axe de la surface trois segments dont Je point milieu est le même.

En d'autres termes :

Si Von désigne par e le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD et si Von mène par le point e une parallèle à Vaxe A, le cône du second degré, ayant pour sommet c et contenant la parallèle dont je viens de parler ainsi que les perpendiculaires aux faces du tétraèdre, est asymptote à Vaxe^»

Le plan passant par A et le sommet e est donc tangent ak cône.

12. Les axes des diverses surfaces de révolution du second ordre que l'on peut mener par quatre points donnés A, B, CclD forment un complexe dont il est facile de trouver, d'après ce q«* précède, les propriétés les plus essentielles.

Désignons, comme ci-dessus, par £ le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD et par A', B', CI et D' les perpendiculaires abaissées du point e sur les faces du tétraèdre.

Les droites du complexe, situées dans un plan donné P, s'obtiendront facilement^ si l'on appelle a', ^', y' et S' les points où ce