COURBE ENVELOPPÉE PAR LES AXES DES CONIQUES

plan est percé par les droites A', B', G et D', ce sont les asymptotes des coniques passant par les quatre points a', ^'j ^ et 8'. Ainsi les droites du complexe, situées dans le plan P, enveloppent la courbe de troisième classe étudiée dans /e § I.

Pour obtenir les droites du complexe passant par un point donné O, imaginons les divers cônes du second ordre qui renferment les droites a', p', y' et S', et par O menons les plans tangents à ces cônes ; les arêtes de contact forment un cône du troisième degré qui, transporté parallèlement à lui-même, de sorte que sort sommet vienne en O, donnera le cône du complexe.

On voit que ce cône ne varie pas et se déplace parallèlement à lui-même lorsque le point O se meut sur une droite passant par le Centre e de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD.

d3. Étant donné un système de cinq points A, B, C, D et E, il ^^^ facile de déterminer une surface de révolution du second ordre Passant par ces points et ayant pour axe une droite parallèle à une ^i*oite donnée A.

Soient, en effet, a, p, y, S et e les centres des sphères circonscrites aux cinq tétraèdres que l'on peut former avec les cinq t^oints donnés, a étant par exemple le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre BCDE, ^ le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ACDE, etc.

Par le point a, menons une parallèle A' à A et imaginons le

Ci5ne du second ordre (a) ayant pour sommet a et pour arêtes les

droites A', ap, ay, a8 et ae; par le point p, menons de même une

(Parallèle A'^ à A et imaginons le cône du second ordre (^), ayant

pour sommet le point ^ et ayant pour arêtes les droites A", ^a, ^y,

PS et pe. Ces deux cônes, comme on le voit, ayant en commun la

génératrice a^, se coupent en outre suivant une cubique gauche.

Cela posé, les plans tangents menés respectivement aux cônes (a)

et (P) le long des arêtes A' et A" se coupent suivant une droite qui

est Taxe d*une surface de révolution du second ordre passant par

les points A, B, C, D et E.

li. On déduit encore de là la proposition suivante :

Cinq points étant donnés sur une surface de révolution du second ordre, les cinq centres des sphères circonscrites aux cinq

55 f GÉOMÉTRIE.

tétraèdres que Von peut former en considérant quatre quelconques de ces points sont sur une cubique gauche ayant pour asymptote Vaxe de la surface.

D'où Ton conclut que le système de droites formé par les axes des diverses surfaces de révolution du second ordre passant par cinq points donnés se confond avec le système formé par les asymptotes des cubiques gauches passant par cinq autres points fixes, ces derniers points étant les centres des sphères circonscrites aux tétraèdres déterminés par les cinq premiers points.

lo. Les théorèmes qui précèdent sont des cas particuliers de théorèmes plus généraux relatifs aux lignes spiriques et aux surfaces de révolution engendrées par la rotation de ces ligoes autour de leur axe.

On appelle ligne spirique (*) une courbe plane du quatrième ordre qui possède un axe de symétrie et qui a pourpoints doubles les deux ombilics du plan.

Cetle courbe a deux foyers singuliers situés sur son axe de symétrie. Si ces deux foyers coïncident, la courbe est un ovale de Descartes; dans le cas où l'un des foyers singuliers est rejeiea l'infini, la courbe devient une cataspirique et elle n'est plus que du troisième degré. Enfin, si les deux foyers singuliers sont rejelés à l'infini, la courbe devient simplement une conique.

Cela posé, je m'appuierai sur la propriété suivante, que j ai énoncée dans ma Note Sur quelques propriétés des lignes spiriques (loc, cit,) :

Étant donnés deux points fixes A et Bsitués sur une spirique et un point M mobile sur cette courbe, si, par les milieux des cordes MA et MB, on mène des droites respectivement perpendiculaires à ces cordes^ ces perpendiculaires déterminent sur

(') Voir, sur la théorie des lignes spiriques, le Mémoire de M. de la Gournerio, Sur les lignes spiriques, inséré dans le Journal de Liouville, i* série, l. XIV; ma Noie Sur quelques propriétés des lignes spiriques, insérée dans le Bulletin de la Société philomathique (novembre 1869) et ma Note Sur la cardioïde {Nouvelles Annales, 1878).