RBLATION QUI EXISTE ENTRE UN CERCLE ET LES ÉLÉMENTS D*UNE CONIQUE

posées dans une Noie publiée précédemment dans les Nouvelles annales (*). Un point quelconque Â étant donné dans le plan, menons les deux droites isotropes AI et AJ qui se croisent en ce point, et désignons respectivement par a et par a' les points réels situés sur ces droites.

II est clair que ces points sont parfaitement déterminés quand m se donne le point A; réciproquement, ces points déterminent complètement le point A, et Ton peut dire que oa' est son segment représentatif, a étant Torigine du segment et a' en étant Textrémité.

Ceci posé, si trois points sont en ligne droite, les deux triangles formés respectivement, par les origines des segments représentatif s de ces points et leurs extrémités, sont semblables et inversement placés.

En second lieu, si un point imaginaire est situé sur un cercle réel, les extrémités de son segment représentatif sont réciproques par rapport à ce cercle.

4. Il résulte de là que, si Ton désigne respectivement par F' et G' les points réciproques des foyers F et G relativement au cercle C, les points m et n ont respectivement pour segments représentatifs FF' et GG'.

Je construis maintenant le point symétrique du point P relativement à la droite mn. A cet effet, par le point F, je mène la droite isotrope FI qui passe par le point m, puis par le point m la droite isotrope mj qui contient le point réel F'; je mène ensuite la droite isotrope FJ, puis, en appelant p le point où elle rencontre la droite mn, la droite isotrope />I, et le point f, où se rencontrent mJ et /7I, est le point cherché. Si R est le point réel situé sur pi, on voit que son segment représentatif est RF'.

Pour obtenir le point R, je remarque que les trois points /?, m et n étant en lignes droites et étant respectivement représentés par les segments RF, FF' et GG', les triangles RFG et FF' G' sont semblables et inversement placés. D*où il suit que le point R est

(*) Sur l'emploi des imaginaires en Géométrie {Nouvelles Annales de Aiathe'matigues, a* série, t. IX; 1870).

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rinterseclion de la droite GF' avec la droite menée parlepoinlF parallèlement à GG^ Si Ton remarque en eflfet que le quadrilatère FGF'G' est inscriptible dans un cercle, on en conduisant

peine que les angles FGIl et r'G't sont égaux comme inscriu dans un même arc de circonférence; parla même raison, Faogle

t'FC? est égal à Tangle F' G G et ce dernier est égal parconslruc-

tion à l'angle FRG. Les angles FRG et F'FG' sont donc aussi égaux; par suite, les triangles RFG et FF' G' sont semblables, et, comme ils sont évidemment inversement placés, le point Restle point réel situé sur la droite isotrope pi.

5. Le point cp étant symétrique de F relativement à la droite mn, qui est une tangente de la conique K, est situé sur le cercle décrit autour du foyer G comme centre avec un rayon égal à l'axe delà conique qui contient ce foyer.

Le point cp est d'ailleurs représenté par le segment RF'; on en conclut d'abord que la droite RF' passe par le point G, ce qui résulte de la construction même pcir laquelle on a déterminé le point R, puis que le produit GR x GF' est égal au carré deTaï^ dont je viens de parler.

D'où la proposition que j'ai énoncée au commencement de cette Note.

6. Cette proposition peut s'énoncer d'une façon unpeudifl^rente :

Construisons le cercle passant par le point ¥' et tangent en G à la droite OG; si l'on désigne par 4> le second pointée rencontre de ce cercle avec l'axe FG, par H le centre de '^ conirjue, par 2a la longueur de l'axe de cette courbe qui renferme les foyers Y et ij et par ib la longueur de Vautre axe, on a la relation

(i) HF.H'P = a*H-^»S

en sorte que les points F et <î> sont réciproques relativement au cercle qui est le lieu des points d*oii l'on voit la conique sous un angle droit.

RELATION QUI EXISTE ENTRE UN CERCLE ET LES ÉLÉMENTS D'UNE CONIQUE. SSg

On peut remarquer, en effet, que la droite FR étant parallèle à la droite OG, le quadrilatère FRF'^ est inscriplible dans une circonférence de cercle; on a donc

GF.G* = GR.GF'=4a«, d'où, par une transformation facile, la relation énoncée ci-dessus.

7. Comme application, proposons-nous, étant donné un point O du plan, de construire un cercle a^^ant ce point pour centre et dans lequel on puisse inscrire un triangle circonscrit à la conique K.

Construisons le pointa déterminé parla relation (i), et faisons passer par les points $ et G un cercle qui touche la droite OG. Ce cercle rencontre la droite OF en deux points F' et F"; de là deux solutions du problème proposé.

En premier lieu, on a comme solution le cercle relativement auquel les points F et F' sont réciproques, et son rajon R' est déterminé par la relation