ET LES ÉLÉMENTS D'UNE GOTIQUE INSCRITE DANS CE QIADRILATÈRE

Nouvelles Annales de Mathématiques; 1879.

1. Dans loiit ce qui suU, pour abréger les démonstralions, je supposerai que l'on considère une conique et un cercle réels (ou du moins dont les équations soient réelles). Les résultats obtenus s'étendent évidemment au cas où ces courbes seraient imaginaires; il suffirait d*ailleurs de quelques modifications légères pour appli- C|uer au cas général les considérations sur lesquelles je m^appuie.

2. Je supposera! d*abord que la conique donnée soit une paral)ole P. En désignant par C le cercle donné, on sait, d*a|)rès Poncelet, que si Ton peut circonscrire à P un quadrilatère dont les sommets soient situés sur C, on peut lui circonscrire une infinité de quadrilatères jouissant de la même propriété. Le sommet d'un de ces quadrilatères peut être pris arbitrairement sur le cercle.

Soit I un des ombilics du plan, les deux tangentes menées de ce point à la parabole sont, d^une part la droite de l'infini qui rencontre le cercle à l'autre ombilic J, et d'autre part la droite FI qui passe par le fojer de la parabole. Les tangentes issues du point J sont la droite de l'infini et la droite FJ. Désignons respectivement par a et P les points où les droites isotropes FI et FJ rencontrent le cercle; il est clair que l'on obtiendra la condition nécessaire et suffisante pour que l'on puisse inscrire dans le cercle un quadrilatère circonscrit à lu parabole, en exprimant que la droite a^ est tangente à P, ou bien que le symétrique de F relativement à cette droite est sur la directrice de P.