L. - II. 3G

563 GEOMKTRIE.

Ce point symétrique est évidemment le point réciproque de F relativement au cercle C; d'où la proposition suivante :

Étant donnés le cercle C et une parabole P, si Von peut inscrire dans le cercle un quadrilatère circonscrit à la parabole, le point réciproque du foyer de P relativement au ctnk est situé sur la directrice de cette courbe.

3. On sait (*) que, si l'on considère un quelconque des quadrilatères circonscrits à P et inscrits dans C, le point de rencontre Q des diagonales de ce quadrilatère est fixe et ne dépend pas de la position du quadrilatère considéré; c'est d^ailleurs le point de rencontre de deux cordes communes aux deux courbes.

Si Ton considère, comme précédemmeni, le quadrilatère IJa?, on voit que le point fixe Q est l'intersection des droites isotropes ^I et aJ ; ce point est donc le réciproque de F relativement au cercle C, et il est situé sur la directrice.

i. En particulier, si d'un point M, pris dans le plan de la parabole, on lui mène deux tangentes qui touchent cette courbe aux points A et B, on sait que Ton peut inscrire dans le cercle déterminé par les trois points M, Â et B une infinité de quadrilatères circonscrits à P; on peut donc, relativement à ce cercle, énoncer les propositions suivantes :

Le point réciproque du foyer de P, relativement au cerckC circonscrit au triangle MAB, est sur la directrice de P;«/«' le point d'intersection de la corde AB commune aux deux courbes, de la corde qui passe par leurs deux autres points de rencontre et de la tangente menée en M au cercle C.

5. Considérons maintenant une conique K quelconque ayant pour foyers réels les points F et G; je désignerai par ua la longueur de l'axe contenant ces foyers, par 26 la longueur de l'autre axe, et par 2 c la distance FG, en sorte qu'entre ces quantités on a, suivant la notation habituelle, la relation

(') FoNCELET, Propriétés projeclives, t. i, p. 35i.

■XISTB ENTRE UN CIRCLE ET LES ËLÊUENTS D'CNE COMQUE. i63

Puisque l'on peul inscrire dans le cercle C une infînilë de quadrilatères circonscrits à la conique K, on peut choisir arbitrairenieat sur ce cercle le sommet d'un de ces quadrilatères. Prenons '^ombilic I; les tangentes menées de ce point à la conitjue passent par les foyers F et G et rencontrent respectivement le cercle en dcui points a et p; en vertu de la propriété énoncée, il existe siir ce cercle un troisième point S, tel que les droites aô et ^S sont Laageales à la conique K..

DéiermiDOns d'abord le point symétrique de F relativement ft a3. Je mène à cet effet par le point F la droite isotrope du sj-slime (I) qui rencontre aZ au point x, puis par le point ce la droite isotrope du système J; je mène en second lieu par le point F la droite isotrope du système J qui rencontre aS en un point i, puis par le point e la droite isotrope du système I. Les droites aJ et eI se coupent en un point f qui est le symétrique du point F.

Pour déterminer le segment représentatif de ce point imaginaire, je remarque que les points tx, S et e sont en ligne droite. Le segment représentatif du point x est FF', si l'on désigne par F' le réciproque du foyer F relativement au cercle C; le segmentreprésentalif du point <f a pour extrémité le point F' et pour origine un point R qu'il s'agit de déterminer. Quant au point S, comme il se trouve sur le cercle C, il est représenté par un segment DD' dont les extrémités sont deux points réciproques relallvemetii à ce cercle; le point e a d'ailleurs pour segment représentatif UF.

Puisque les points a, 5 et e sont en ligne droite, les deux triangles FRD et F'FD' sont semblables et inversement placés, et, le quadrilatère FF'DIV étant inscriptible, on voit immédiatement que le point R est le point de rencontre de F'D avec la droite menée par le point F parallèlement à OD.

6. Semblablement, si l'on désigne par y le symétrique de G relativement à pS et par G' le réciproque de G relalivemenl au cercle G, on voit que y est représenté par le segment SG', en appelant S le point de rencontre de G'D avec la droite menée par le point G parallèlement à OD.

Je ferai remarquer maintenant que, la droite xS étant tangente à la conique K, le point <f est situé sur le cercle réel décrit du point G comme centre avec un rayon égal à sa; donc :

564 OKOXéTRIE.

I** La droile F'D passe par le point G; 2® On a ia relation

GR.GF'=4a».

De même, la droite j3o étant tangente à la conique K, le p^^'^^M est si lue sur le cercle réel décrit du point F comme centre av^^^^^ rajon égal à ia\ donc :

1° La droite G'D passe par le point F;

2'* On a la relation

FS.FG'=4a».

7. Diî là résulte que le point D est Tintersection des droite» rC el GF' et Ton peut énoncer la proposition suivante :

Théorème. — Considérons un cercle G et une coniqu^f K jouissant de la propriété que Von puisse inscrire dans le c^r'€:le un quadrilatère circonscrit à la conique; soient O le centre^ du cercle y V et G les points réciproques relativement au cercle efes joyers F et G de la conique, D le point de rencontre des droites FG' et GF'.

Si l'on désigne par R le point de rencontre de F' G avec la droite menée par F parallèlement à OD, le produit GR.GF' • est égal au carré de l'axe de K. qui contient les /or ers F et G.