On trouve aisément

sinio R^ — iR^MPCosio -+- /i*i»*^ siiKa— P) - R*— a«t'» '

on en déduit la relation

On a d'ailleurs

4c*= «/'-+- p*— aNç'cos(i>;

en éliminant cosco entre les deux équations qui précèdent, il viendra enfin

4rti( Rv u^çi^ = (-2 Ri w«— i>»)[(R«— aî) (^Rt— p«) H 4c'R*J.

10. Si Ton suppose que la conique se réduise à un cercle, les foyers F et G étant confondus, on devra faire c = o, et en posant

on obtiendra la relation suivante :

(Ri D«)[2r«(R«-h D«) — (R«— D»)»] = o.

5^ OéOMÉTRIE.

11. Comme je l'ai rappelé plus haut, si Ton considère an quadrilatère quelconque circonscrit à la conique K et inscrit dans le cercle C, les diagonales de ce quadrilatère se coupent en un point fixe.

Pour déterminer ce point fixe, je considère en particulier le quadrilatère laS^; le point fixe cherché se trouve sur la droite SI, cl, comme il est évidemment réel, il se confond avec le point D. On peut d'ailleurs facilement vérifier que ce point est sur la diagonale a^; cela résulte immédiatement de la similitude des triangles FDG et FDG'.

Ainsi :

Le point de rencontre fixe des diagonales des quadrilatères circonscrits à la conique K et au cercle C est le point de rencontre des droites FG' et GF'.

12. Les considérations qui précèdent s'appliquent évidemment au cas où le poljgone, que Ton peut circonscrire à la conique et inscrire dans le cercle, a un nombre de côtés supérieur à quatre; mais les résultats deviennent alors beaucoup plus compliqués, et je me contenterai d'examiner le cas particulier où, la conique étant une parabole P, on peut lui circonscrire un pentagone inscrit dans un cercle C.

Si nous prenons pour sommet de ce pentagone l'ombilic I, des deux tangentes que l'on peut de ce point mener à la parabole, l'une est la droite de l'infini qui rencontre le cercle à rombilicJ, l'autre coupe le cercle en un point a. Par l'ombilic J, on peut mener à P une tangente distincte de la droite de l'infini; je désignerai par ^ le point où elle rencontre C. Cela posé, il est clair que, si l'on peut inscrire dans le cercle un pentagone circonscrit à la parabole, les tangentes à ce cercle, menées par les points a et ^ (et distinctes des droites isotropes al et pj), doivent se couper en un point y de ce cercle. D'ailleurs, les points a et P étant évidemment imaginaircrnent conjugués, il en est de même de ces deux tangentes; le point y est donc réel.

Nous devons maintenant exprimer que la droite ay est tangente à la parabole.

A cet efi^el, je remarque que le point a est représenté par le segment FF', si l'on appelle F le foyer de la parabole et F' son

RELATION QUI EXISTE ENTRE UN CERCLE ET LES ÉLÉMENTS d'UNE CQNIOUE. 667

réciproque relalivement au cercle. Cherchons le symétrique de F relativement à la droite ay; pour cela, je considère la droite isotrope du système J qui passe par le point a; puis, par le point F je mène la droite isotrope du même système qui rencontre ay en un point e; enfin par le point e je mène la droite isotrope du système I.

Les droites aj et el se coupent en un point <p qui est le symétrique cherché, et le segment représentatif de <p est RF', si Ton désigne par R le point réel situé sur la droite el.

13. D'ailleurs, les points a, e et y étant en ligne droite, les deux triangles FF'y et RFy sont semblables, et par suite le point R est le point d'intersection de F'y par la droite menée par F parallèlement à Oy.

Si maintenant on remarque que le point ^ , représenté par le segment RF', est sur la directrice de la parabole, on en conclut d'autre part que R est le symétrique de F' relativement à cette directrice.

D'où la proposition suivante :

Soit donnée une parabole à laquelle on peut circonscrire un pentagone inscrit dans le cercle; construisons le point F', réciproque par rapoort au cercle, du foyer F de la parabole, puis le point R symétrique du point ¥' par rapport à la directrice de cette parabole; cela posé, le point de rencontre de F'R avec la droite menée par le centre du cercle parallèlement à FR est situé sur le cercle.

14. Si l'on désigne par y ce point de rencontre, par O le centre du cercle et r son rayon, les deux triangles semblables FF'R et OF'y donnent la proportion