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on en déduit la relation suivante :

rî— OF-»=r.FR

568 OÉOMéTRII.

15. En tcrininanl cette Noie, je ferai encore remarquer avec quelle facilité les considérations dont j'ai fait usage condaiseni au beau théorème de M. Faure^ relativement aux triangles conjugués par rapport à une conique.

Considérons, en effet, un cercle circonscrit à un triangle conjugué relatif à une conique K; on sait que l'on peut, dans ce cercle, inscrire une infinité d'autres triangles jouissant de la même propriété. Prenons l'ombilic I comme sommet d'un de ces triangles, et soient a et ^ les points de rencontre de K avec la polaire de cel ombilic; ces points sont évidemment sur le cercle lieu des sommets des angles droits circonscrits à la conique, en sorte que, en désignant par O le centre de K. et par a eib les demi-axes de cette conique, on a la relation

Soient y et 8 les deux autres sommets du triangle conjugué dont le premier sommet est I; par définition, les points y et 8 se trouvent sur la droite a^ et divisent harmoniquement le segment a°; on a donc

0^.08 = Oa«= a^-^b\

et, comme Oy.Oo est évidemment la puissance du centre 0 relativement au cercle C, le théorème est démontré.

suit

<iUELQUES PROPRIÉTÉS DES CONIQUES HOMOFOCALES,

Bulletin de la Société mathématique de France; 1879.

1. Je considère, dans un plan^ un système de coniques homofocales; soient Ox et Oy les axes de ces coniques, F et F' leurs fojrers réels communs, que je supposerai situés sur Taxe O^; les deux foyers imaginaires communs ^ et ^' seront, par suite, situés sur Taxe Oy. Pour abréger, j'appellerai simplement conique du système une conique ayant pour foyers les points F, F', ^ et ^'.

Ëlant donné un point quelconque M du plan, deux coniques du système se croisent en ce point; désignons par N et N' les centres des deux cercles qui osculent respectivement ces deux coniques au point M, et par [x la droite qui joint ces deux points. Cette droite est parfaitement déterminée quand on se donne le point M et les deux foyers F et F'; je dirai que c'est Taxe du point M.

2. Réciproquement, étant donnée une droite [x du plan, il exisUî trois points M, M' et M" pour lesquels cette droile est un axe.

Si Ton considère la conique dusystèmequi touche la droite [jl, et que l'on désigne respectiyement par 7. et ^ les points oà la normale menée au point de contact rencontre les axes Ox et Oy, les trois points M, M' et M", qui ont pour axe la droite jx, sont situés sur le cercle A passant par les points a, ,3 et le centre O commun aux coniques du système.

3. On sait que toutes les propriétés des normales et des centres

de courbure d^une conique sonl triples ; les normales à une conique demeurent, en effets normales à la transformée de celte conique quand on efTectue une transformation homographique qui, aui deux ombilics du plan (*), fait correspondre deux des foyers indépendants de cette conique.

De la proposition précédente, on déduit donc immédiatement les théorèmes qui suivent :

La conique qui, passant par le point ^ et les deux joyen^ et F', a pour asymptotes l'axe Oy et la droite a^ contient ks trois points M, M' et M".

La conique qui, passant par le point cl et les deux foyers^ et 4>', a pour asymptotes l'axe Ox et la droite ap contientégalement les trois points M, M' et M".

4. Les trois points qui ont pour axe la droite [jl sont, commeon le voit, les trois points communs aux deux coniques doDt je viens de parler et au cercle A défini précédemment (2).

Mais on peut aussi les déterminer par Tintersection de ce cercle et d^ine conique avec une conique ayant pour axes les droites Ox et Oy.

Désignons, en eflet, par C la conique du sjstéme qui touche la droite [x et par K la conique dont les sommets coïncident avec les points de rebroussement de la développée de C; nous pourrons énoncer la propriété suivante :

Les points M, M' et M'', qui ont pour axe la droite (i, m«' situés sur la conique K; le quatrième point de rencontre d^ cette conique et du cercle A est le point O' qui, sur le cercle, est diamétralement opposé au centre O commun aux coniques du système.

5. Le point O', diamétralement opposé au point 0 sur fe cercle A, est le conjugué harmonique du point O relativement aux points M, M' et M".

(^) Je désigne ainsi les points imaginaires situés à l'iufîni et communs à tous les cercles tracés dans le plan.