SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS DES CONIQUES HOMOFOCALES
6. Le triangle M M' M'' est circonscrit à la conique C dusys- 'ème qui touche la droite |x.
7. Cousîdérons l'hyperbole éqnîlalère H, qui a pour cenlre le Doint O et donl l'axe transverse, dirigé suivant Oy^ a pour longueur FF'; nous pourrons énoncer la proposition suivante :
Le triangle MM'M' est autopolaire relativement à l'hyperbole H.
8. Soit M'M'^ un côté quelconque du triangle M M' M"; du point O abaissons une perpendiculaire sur ce côté, et désignons par Mo le point symétrique, par rapport au point O, du pied de celte perpendiculaire.
Le point M© est situé sur l'axe jjl du point M, et la droite MT© est perpendiculaire à cet axe.
9. Étant donnée une conique C du système, on voit que, si la droite jx roule sur cette conique, les points correspondants M, M' et M*^ décrivent la conique K, tandis que les côtés du triangle MM'M^ roulent tangentiellemcnt à C elle-même.
D'où les propositions suivantes :
Etant donnée une conique quelconque C du système, désignons par R la conique dont les sommets coïncident ai^ec les points de rebroussement de la développée de C.
Cela poséj en appelant O' un point quelconque deK et O le centre commun aux courbes du système, si, sur 00' comme diamètre, on décrit un cercle, ce cercle rencontre les axes en deux points; la droite qui Joint ces deux points est normale à la conique C.
Ce cercle rencontre de nouveau K en trois autres points; chacun de ces points a pour axe une même droite tangente à C.
Les côtés du triangle formé par ces points sont circonscrits àC.
Ce triangle est autopolaire relativement à l' hyperbole équilatère H.
10. Les coniques C et K, qui figurent dans l'énoncé des propo-
silions qui précèdent, ont entre elles des relations qui méritent d'être étudiées.
Entre autres propositions, je rappellerai la suivante^ que j'ai déjà fait connaître, il y a quelques années, dans les Coi7i/>/^5re/irf//5 de r Académie des Sciences ( * ) :
5'/ d^un point de la conique K on mène des tangentes à la développée de la conique C, les quatre points de contact sont en ligne droite, et la droite qui joint ces points de contact est normale à la courbe C.
11. Soit IVI un point quelconque du plan; par ce point passent^ i deux coniques du système. En désignant par N et N' les centres^rr 5 des cercles qui osculent ces coniques au point donné, je dirai qu^i^— e N et N' correspondent au point M.
Réciproquement, étant donné un point N du plan, on peu .^t chercher combien de points M lui correspondent, c'est-à-dir» combien existent de cercles ayant le point M pour centre et oscn lateurs d'une conique du sysième.
12. Pour résoudre celte question, je m'appuierai sur les consi— dérations suivantes :
Etant donne un point N du plan, si de ce point on mène lesr normales à une conique du système, les tangentes aux points dc^ fcJc contact touchent une parabole P tangente aux axes de la conique "^^ ^' Celte parabole est la même quelle que soit la conique du systèmes .^'nc que l'on considère; elle est Tenveloppe des polaires du point >^^ relativement aux diversesconi(jues qui ont pour foyers les poinlsFi '* et F.
13. Pour le démontrer, je m'appuierai sur celle importante pro- <^^=^" position, due à M. Cliasles :
Le lieu des pôles d\ine droite relativement aux coniques qu^ ^' forment un système homofocal est une droite qui rencontre l(<- *
(') Sur la d€\;eloppée de l'eUipse {Comptes rendus de l'Académie des^
Sciences, janvier 1^75).
