SUR LA THEORIE DES FOYERS

angle aux douze foyers de ces coniques, nous obtiendrons ainsi six couples de droites ayant une bissectrice commune ; donc trois quelconques d'entre elles forment un faisceau en involution. On tire de là le théorème suivant :

Thkorème IV. — Si trois coniques sont inscrites dans un même angle A, et que par deux points extérieurs P et Q on leur mène des tangentes, les tangentes menées de ces deux points à une même conique formeront un quadrilatère donnant deux couples de sommets opposés, et nous aurons, en considérant les trois coniques, six couples de sommets; en joignant trois quelconques de ces couples au sommet A on obtiendra un faisceau en involution.

Les deux droites représentées par les équations

que nous avons considérées dans l'étude des foyers des coniques (t. XI, p. 290), jouissent d'une propriété très remarquable, contenue dans la proposition suivante :

Si un angle constant tourne autour du point (a, P), ses côtés et les droites représentées par les équations

forment dans chaque position de l^ angle mobile un faisceau dont le rapport anharmonique est constant. Si l^ angle mobile est droit, le faisceau est harmonique.

Les conséquences de ce principe sont nombreuses. Considérons un angle constant tournant autour du foyer d'une conique, les cordes interceptées dans la conique enveloppent deux coniques confocales et doublement tangentes à la première.

lO OKOMKTHIK.

On lire de celte proposilion le théorème suivant :

Théorème V. — Si un angle O est circonscrit à une conique, et qiCun angle variable tourne autour du point O de manière que ses côtés fassent dans chacune de ces positions, avec les côtés de l'angle fixe, un faisceau dont le rapport anharmonique soit constant^ les cordes interceptées dans la conique par les côtés de Vanstle variable enveloppent deux coniques inscrites dans l'angle O doublement tangentes à la première (Chas LES, Géométrie supérieure, p. 448).

Je citerai encore les théorèmes suivants :

Théorème VI. — Si un angle variable tourne autour d'un point fixe O pris dans le plan dUine conique, en sorte que ses côtés fassent constamment, avec deux droites passant par ce point, un faisceau harmonique, les cordes interceptées dans la conique par les côtés de l'angle variable enveloppent deux coniques.

Si le point O est sur la conique, la corde interceptée passe par un point fixe.

Théorème VII. — Si un angle variable tourne autour d'un point pris sur une conique, en sorte que ses côtés fassent constamment, avec deux droites passant par ce point, un faisceau dont le rapport anharmonique soit constant, la corde interceptée dans la conique par Vangle variable enveloppai une autre conique doublement tangente à la première au point O (Chasles, Géométrie supérieure, p. ioo) (*).

Dans ce qui précède, nous sommes partis d'un théorème particulier pour nous élever au théorème général; mais il arrive souvent que ce dernier est plus simple et plus facile à démontrer; alors on peul en tirer le théorème particulier.

On verra un exemple de cette méthode dans ce qui va suivre .

( ' ) Ces théorèmes ont élé communique;» à M. Terquem avant la publication de la Géométrie supérieure.

SUR LA THEORIE DES FOYERS. Il

ni.

Définition. — Soit un point a, ^ pris dans le plan d'une conique, les droites représentées par

couperont la conique en quatre points donnant deux cordes réelles. Quoique les théorèmes suivants s'appliquent aussi aux cordes imaginaires, nous ne considérerons que les premières; pour abréger, je les nommerai les droites directrices du point a, ^. Soient X = o et Y = o les équations de ces deux droites, Téquation de la conique pourra se mettre sous la forme

(ar— a)^-^-(J'-{J)^=XXY:

dODC :

Théorème VIU. — Ae carré de la distance d^ un point de la conique à un point fixe a, ^ est au produit des distances de ce même point aux deux droites directrices correspondantes ^ dans un rapport constant.

Remarque. — Si le point F coïncide avec l'un des foyers de la conique, les deux droites directrices se confondent toutes deux avec la directrice correspondante.

Si la conique est un cercle, une des droites directrices est toujours à rinfini.

Considérons une conique dans un plan, et soient A, A', B, B' quatre points pris arbitrairement sur cette conique; menons la droite AA' et joignons un point quelconque de la conique aux quatre points A, A', B, B'; nous obtiendrons ainsi quatre droites coupant la corde AA' aux quatre points A, A', 6, //, et si nous joignons ces quatre points à un point fixe O pris dans le plan, les quatre droites AO, A'O, 60, b'O forment un faisceau dont le rapport anliarmonique sera constant.

Maintenant, si nous transformons homograpbiquement celte figure, en sorte que les deux droites OA et OA' se projettent suivant les droites dont les équations sont

(.r — P) -^ /^(^ — «) = o, {y—^) — /^^(ar — a) = o,

a et ^ étant les coordonnés du point correspondant au point O, on obtiendra le théorème suivant ;

Thî^.orème IX. — Soient F un point fixe pris dans le plan dUine conique, A et h! deux points pris sur cette conique; un angle dont les cotés passent constamment par les points A et A', et dont le sommet se meut sur la conique, intercepte sur une des droites directrices correspondant au point F un segment vu de ce point sous un angle constant.

Remarque, — Ce théorème a encore lieu quand le point F coïncide avec l'un des foyers de la conique; je ferai remarquer que, dans ce cas, Tangle constant est la moitié de Tangle AFA'.

Si les points A, A' et le pôle de la droite directrice que Ton considère sont en ligne droite, l'angle constant est droit.

Parmi les applications que Ton peut faire du théorème précédent, je citerai la suivante :

Trois segments étant donnés sur une droite, déterminer le point du plan d'où ces trois segments sont vus sous le même angle.

Ce problème peut se résoudre au moyen de la règle et du compas.

i. Problème. — Un système d'angles A, B, C, . . . , situés dans un plan, étant liés par une équation quelconque F(A, B, C, ...)=: o, trouver la relation qui lie les angles correspondants A', B', (7, . . . , quand on transforme la figure ho mo graphique ment.

Solution. — Soient P, Q les deux points correspondant, sur la seconde figure, aux deux points qui, dans la première figure, sont situés respectivement sur la droite de l'infini et sur les deux droites y = xi, y = -'xi.

Les deux côtés de l'angle A' dans la seconde figure et les droites A'P, A'Q formeront un faisceau dont nous désignerons le rapport anharmonique par a; désignons de même par 6, c, rf, ... les

SUR LA THÉORIE DES FOYERS. l3

' rapports correspondant aux autres angles, la relation cherchée est

la caractéristique log désignant des logarithmes népériens.

JV. B. — M. Chasles, dans sa Géométrie supérieure, p. 44^, § 623, ne donne la solution de ce problème que quand les angles A, B, C, . . . ont même sommet ou quand ils sont égaux.

On pourrait se proposer la même question pour un sj'stème d^angles situés d'une manière quelconque dans l'espace; mais la question est alors plus complexe et demande quelques développements que nous ne pouvons donner ici.

Remarque. — Il suit de là que toute relation entre des angles est projective; pour ne donner qu'un exemple, nous prendrons ce ihéorème élémentaire :

La somme des angles d'un polygone plan est un multiple de deux droits*

Si on le transforme liomograpliiquement au mojen du problème précédent, on trouvera le théorème de Carnot rclalif aux segments qu'une transversale intercepte sur les côtés d'un polygone.

Je ne m'arrêterai pas sur les conséquences que Ton en peut tirer pour les polygones inscrits ou circonscrits aux coniques, et notamment aux théorèmes que M. Poncelet a donnés à ce sujet dans ses Propriétés projectives.

Nous donnerons prochainement les démonstrations de ces diverses propositions et du théorème suivant :

5. Théorème X. (Nous appelons ici foyers d^ une surface de révolution du second ordre les deux foyers communs à toutes les sections faites suivant Taxe.) — Le lieu des foyers des surfaces de réi'olution circonscrites à une surface du second ordre est un système de trois coniques situées dans les trois plans principaux de la surface ( ' ).

( * ) Ce sont les courbes polaires de M. Cbasles.

l 'i UÉOMÉTRIE.

On déduit comme corollaire le théorème de M. Steiner sur les sommets des cônes de révolution circonscrits à un ellipsoïde.

6. Théorème XI. — Soit un cône circonscrit à une surface du second ordre; tout plan cyclique du cône coupera la surface suivant une conique dont le sommet du cône sera un foyer.

Nous joignons ici un exemple pour éclaircir la formule (i) (p. i3).

7. Soient un cercle et deux points A et B pris arbitrairement sur ce cercle, M un point quelconque de la circonférence, et O son centre; on aura

>..\MB ^ A OU.

Si nous transformons la figure bomographiquement, le cercle se projettera suivant une conique, le point O se projette en O', et, comme il est facile de le voir, les points P et Q seront les points de contact des tangentes menées à cette conique par le point O'; \ et B se projetteront en A' et B'. Cela posé, joignons les points A' et B' au point O', et appelons a le rapport anbarmonique du faisceau O'P, O'A', O'B', O'Q (en regardant les droites OPet OQ comme conjuguées).

Joignons les quatre points A', B', P, Q à un point quelconque M de la conique, et appelons b le rapport anbarmonique du faisceau MA', MP, MB', MQ (en regardant les droites MP et MQ comme conjuguées); d'après la formule (i), nous devons avoir

•>. log6 = loga,

et en passant des logarithmes aux nombres

d'où le théorème suivant :

Si quatre points conjugués deux à deux sont sur une

KUR LA THKURII-: DKH KOYKltfl. l.l

conique, le rapport anhavmonique du faisceau suivant lequel ces points sont vus du pôle de la droite qui joint deux points con/ufrués est égal au carré du rapport anharmonique du faisceau suivant lequel ces quatre points sont vus d^ un point quelconque de la conique.