SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS DES CONIQUES UOMOFOCALKS

droite donnée au point où elle touche la conique du système qui Jui est tangente.

Soient P l'enveloppe des polaires dont je viens de parler (on voit immédialement que c'est une parabole tangente aux axes), C une conique du système, et T une tangente commune à C et à P. En désignant par M le point où elle touclie (], on voit que le lieu des pôles de T relativement aux coniques du système est la droite menée par M normalement à C ; en vertu du théorème de M. Chasles que je viens de rappeler, cette droite passe piar le point N; donc NM est normale à la conique C.

Réciproquement, abaissons du point N une normale à la conique C, et soit M le pied de cette normale. En désignant par T la tangente menée en ce point, on voit que le lieu des pôles de T relatixement aux coniques du système est la droite MN. Il y existe donc une conique du système pour laquelle le pôle de T se confond avec le point N; par suite, la droite T est tangente à la parabole P.

La proposition que j'ai énoncée est donc entièrement établie (*).

14. Le foyer de la parabole P peut se déterminer aisément. On peut, en effet, la définir de la façon suivante :

Si autour du point N on fait tourner une transversale j et que par son pôle on mène une perpendiculaire à cette droite, V enveloppe de ces perpendiculaires est la parabole P (^).

Pour avoir le foyer de la parabole, il faut chercher les droites isotropes tangentes à celle courbe. On les obtiendra si l'on considère les transversales isotropes passant par le point N. En désignant par I l'un des ombilics du plan, soit NI l'une de ces transversales; menons par les foyers F et F' des parallèles à cette droite.

( ' ) On démontrerait de même que :

Si d'un point N de l'espace on mène les normales à une surface du second ordre, les pieds des normales sont les points de contact des plans qui touchent la surface et sont o culateurs de la cubique gauche enveloppée par les plans polaires de N, relativement aux diverses surfaces du second ordre qui ont les mêmes focales que la surface donnée.

(') Chasles, Traité des sections coniques, p. l'p.

57{ oéoxéTRiE,

Le foyer '^ de la parabole se trouve sur la droite isotrope coDJugoée harmonique de NI relativemenl aux deux droites dont je viens de parler; des conséquences analogues se déduiraient de la considération de la transversale isotrope passant par le second ombilic I. On peut donc énoncer la propriété suivante :

Le foyer de la parabole P est le conjugué harmonique du point N relativement aux deux foyers F et F' communs à toutes les courbes du système,

J^ajouterai que :

La directrice de cette parabole est la droite ON qui joint fe point N au centre commun des coniques du système,

lo. Du théorème précédent résultent immédiatement les conséquences suivantes :

Si l'on imagine, dans le plan des deux axes Ox et Oy, deux droites quelconques D et D', le foyer de la parabole qui touche ces quatre droites a pour conjugué harmonique, relativement aux foyers F et F', le point de rencontre des normales menées aux deux courbes du système qui touchent D et D'.

El, si l'on suppose que les droites D et D' viennent se confondre :

Si en un point M d'une conique on mène la tangente^etsi l'on imagine la parabole qui touche cette tangente au pointai et en outre est tangente aux axes de la conique, le conjugué harmonique du foyer de cette parabole, relativement aux deux foyers de la courbe, est le centre du cercle qui oscule celte courbe au point M.

16. Cela posé, pour trouver les points M correspondant à un point donné M, construisons le point Mq, conjugué harmonique de M relativemenl aux deux foyers F et F, et imaginons la parabole P, qui a pour foyer le point Mq et pour directrice la droite OM.

Il est clair, par ce qui précède, que :

Les points N correspondant au point M sont les pieds des normales abaissées de ce dernier point sur la parabole P.