X -+- Y l = X et \—\i = }r

nous pouvons considérer x ely comme de nouvelles coordonnées du point M. On voit que les équations x = ol et >' = p, où a et ^ désignent des quantités constantes arbitraires, représentent les diverses droites isotropes du plan ; je désignerai donc, pour abréfjcr, le système de coordonnées que je viens de définir sous le nom d^ coordonnées isotropes.

Dans un pareil système, le coefficient angulaire d'une droiU* Taisant avec Taxe OX un angle donné V est égal à e~^^' ; Téqnalu^" de l'axe OX est

et Téquation d'un cercle de rayon R el ayant pour centre le poinl (a, ,3) est

2. Etant donnée une courbe de /i'*""*' classe, les coefficieuls angulaires des tangentes que d'un point (jr, r ) on peut mener à cell<î courbe sont donnés par une équation homogène du degré /i,

PROPRIÉTÉS DE l'hTPOGYCLOTDE A TROIS POINTS DE REBROUSSEMENT. 5-7

Jaos cette équation, ^ désigne le coefficient angulaire de Ja tan-

s;ente issue du point (^9^)) et les coefficients du poljnorae Usent Jes fonctions entières de x et de^.

L'équation précédente est, en me servant d'une dénomination que j'ai déjà employée dans plusieurs travaux antérieurs (*), V équation mixte de la courbe.

3. L'hjpocycloïde à trois points de rebroussement étant définie comme une courbe de troisième classe qui touche aux deux ombilics la droite de l'infini, on voit immédiatement que son équation mixte est de la forme

aX'-i-6X«fx-f- c\\t^-^d\t}-ir\\L(\y — \lx) = o.

Cherchons le lieu des points du plan d'où l'on voit Thypocycloïde sous un angle droit; il faut, pour cela, exprimer que l'équation précédente a deux racines égales et de signes contraires. Le lieu cherché a donc pour équation

elle représente, comme on le sait, un cercle. En mettant ei\ évidence le rayon R de ce cercle et les coordonnées a et p de son centre, je poserai

c = a, 6=—?, a=R«-9' et rf=— R«?'. Léquation mixte de la courbe deviendra donc

(1) R^?'X»— PX« ;ji -h aiX;ji« — R^?'îx»-4- X.a(X^— »xx) = o.

•i. Je vais chercher maintenant inéquation mixte des diverses lijpocycloïdes qui touchent l'axe OX et qui rencontrent cet a\c en deux autres points équidistants de l'origine O.

L*axe OX étant tangent à la courbe, une des tangentes issues de Torigine a pour coefficient angulaire l'unité; l'équation (1) est donc satisfaite quand on y fait

•'• = o» ^' = o et X = jx,

( ' ) Mémoire de Géométrie analy tique, a* série, t. XVII.