L. — II
d'où Téqualion de condition
Considérons un poinl de Taxe OX situé à une distance deTorigiDe égale à z, en sorte que les coordonnées de ce point soient
les coefficients angulaires des tangentes issues de ce point sont donnés par l'équation (i), dans laquelle on a remplacé j: et j^ par 2. Si l'on divise cette équation par X — [jl (ce qui revient à faire abstraction de la tangente OX), on trouve aisément que, en posant
les coefficients angulaires des deux autreâ tangentes sont déterminés par l'équation
Rc-?'Xî-+- ( a -4- -3) Xfx -I- Re?'>« = o.
En laissant de côté le point où la courbe est tangente à OX^on obtiendra les deux autres points où elle rencontre cette droiieea exprimant que Téquation précédente a deux racines égales, ce qui donne la relation
Si maintenant on remarque que, les deux points d'intersection dont
je viens de parler étant à égale distance de l'origine 0, les deui
valeurs obtenues pour z doivent être égales et de signes contraires,
on en conclut
u = Re-'?— p = Re'?--a = o,
d'où
a = Rc'? et p = Re-'?.
Ainsi Je centre o) du cercle K, lieu des sommets des angles droits circonscrits à l'hypocycloïde, est situé sur la droite qui fait avec l'axe OX un angle égal a (p et à une distance égale à R, c'est-à-dire au ra>on de ce cercle. Eu désignant par  et A' les deux pointsde rencoiure de OX avec la courbe, on voit ainsi que ce cercle passe par le milieu O du segment A A' et que ce segment a une longueur consl intc égale à ^l\^ propositions bien connues.
o. l;^n remplaçant dans Tcquation (i) a et ^ par leurs valeur^s
PR01*RIÉTÉS DE L'hYPOCYCLOÏDE A TROIS POINTS DE REBROUSSKMENT. 679
:iation mixle de l'hypoc^cloïde prend la forme suivante : R(X — [x) (e-'?X« -4- ei^ jjl») -h \\i{\y — \ix) = o,
équation qui donne les coeffîcients angulaires des tangentes es d'un point de l'axe 0X(^ = yz= z) devient
Re-^?X* -4- -sXfx -4- R e'? [i« = o.
particulier, les tangentes issues du point A', pour lequel on a — aR, sont déterminées parTéquation
/ if il y
\e 'X — e ' fx/ = o,
I Ton voit que la tangente menée au point A' fait avec Taxe OX
ingle égal à -•
i donc on [prend sur le cercle K le [point O' diamétralement osé au point O, cette tangente est précisément la droite A'O'; roi te O'A esl également tangente à l'hypocycloïde au poinl A, es deux droites, conformément à une proposition bien connue, t rectangulaires entre elles.
. On voit qne Ton peut, par les points A et A', mener une infid'hjpocjcloïdes tangentes à Taxe OX; toutes ces courbes sont Heurs égales entre elles, puisque la longueur du segment AA' Tmine le rayon du cercle K et par suite la grandeur de la courbe -même. On les obtiendra toutes en donnant à o toutes les vas possibles dans Téquation (2).
oient deux de ces courbes Hç et H^+o caractérisées par deux urs de Taiigle^ différant entre elles de l'angle 0; si Ton désigne (O et (i>i les centres des cercles des points desquels on voitresivement ces courbes sous un angle droit, on voit que l'angle i>4 est précisément égal à 6.
^'un point M situé sur l'axe OX et à une distance du point O e à 2, menons aux deux courbes K^ etK^^O les tangentes distes de l'axe.
es coefficients angulaires de ces tangentes sont respectivement îrminés par les deux équations
Rc-'?X*-h5XijL -h Re^?fi*= o
l'oux des t^ingcntes menées à H^^ se déduisent évidemment d« j ceux des tangenles menées à 11^, en les mullîpliant parlefacttur j coostanlfi"'; en d'autres termes, les taogentcs à H^s'oblieDDenl
en faisant tourner de l'angle - les langenles à Hç. D'oii la proposition suivante :
Si l'on considère une droite quelconque D tangente à tint hypocycloide à trois points de rebroitssemenl, et si l'onimagint un angle de grandeur constante dont le sommet décrit cetit droite tandis qu 'un de ses côtés demeure tangent à la courht, le second côté de cet angle enveloppe une autre hypocycloldt égale à la première, tangente à la droite D et passant par les <U'UJC points où cette droite coupe la première hypocycloîde.
Ce que l'on peut encore énoncer ainsi :
Soit une bypocycloïde à trois points de rebroussement quise déplace sans changer de/orme, en restant tangente à une droite fixe D et en passant par un point fixe de cette droite (auquel cas elle passe nécessairement par un autre poinl fixe situé sur U même droite); par différents points de D menons'des tangente' à la courbe, et imaginonsque, pendant le déplacement de celte courbe, ces droites lui demeurent tangentes; pour deux positions quelconques de l'hypocycloïde mobile, les angles décria par les tangenles autour des points fixes de D sont tous égaux entre eux.
7. J'ajuulerai que dans le mouvement les points de contact d^ Clivent des cercles, ce que, du reste, des considérations géom^ triques très simples rendent évident. Considérons, en effet, un ]Miînt M «itué 5ur l'axe OX, à une distance de l'origine égale ^^• Hn ilésigiitDt simplement par u. te coefGcient angulaire d'une des tangentes menées de ce point à la courbe (ce qui revient i f»i« ss I), r^nation de cei.vc ungente est
