PROPRIÉTÉS DE L'HYPOCYCLOTDE A TROIS POINTS DE REDROUSSEMENT

et Ton a la relation

Les coordonnées du point de contact s^o])ticndront en résolvant par rapport à x et y Féquation (4) et Téquation suivante, que Von en déduit en la dérivant par rapport à z :

y — r diL

\^x — -3 )- dz

De Téqualion (5) on déduit d'ailleurs

( a R «'? {I -h 5 ) -^ -h jjL = o,

d'où

dz y/^t 4 Kl

el

Pour obtenir le lieu des points de contact, il faut éliminer '^ et [jl entre les équations (4), (5) et (6), ou simplement [jl entre les équations (4) et (6), qui ne renferment pas y. On obtient ainsi Téquation

(x — z) (y — z) -^ ( y — x) \/z^^^JH^ = o, que l'on peut mettre sous la forme suivante :

Ellle représente deux cercles tangents au point M à l'axe OX; leurs centres sont situés à l'intersection de la perpendiculaire élevée à Taxe en ce point avec le cercle décrit sur AA.' comme diamètre.

8. Si l'on considère, comme précédemment, les deux hypocycloïdes H^ et H^^, on voit que le sommet d'un angle circonscrit à

ces deux courbes et ayant pour valeur - décrit un lieu dont fait

partie la tangente commune OX; on peut rechercher si cette droite constitue à elle seule le lieu complet.

Je remarque, à cet effet, que les coefficients angulaires des tan-

génies menées du point (x, j') à la courbe Hç sont délerminés par lYqualion

(a) R(X — fx)(e-'?X«-4-e'?fx«)-f-Xfx(X>^— [xar) = o,

et ceux des tangentes menées du même point à la courbe H^par l'équation

R(X'— îi')(e-'{^ô)X'«-+-e'^9-^«J(x'«)-+-X>'(X>-fx'ar) = o.

Si les deux tangentes font l'angle donné -> on a

et Téquation précédente devient

(7) rU*X — e ^ ii)(e-i9'k^'h€^?yL^)-^lii\e^ yy. — e -Tïij = o.

Reste à éliminer X et [jl entre les relations (2 ) et (^); vn l'iiminanl entre elles l'expression e~'9\^ -\- e'9 ^n^ ^ il vient

8/ 0^ Oi ei

e'X — e * fx «'Xk — ^ * [Jia?