PROPRIÉTÉS DE L*HYP0CYCL0YDE A TROIS POINTS DK REBR0U8SEMENT

d'où, par une transformation facile.

Les angles que font ces deux tangentes avec l'axe OX sont donc

égaux à^4-7età^H-7-f-7: ces deux droites sont à angle droit. 24244

De là une construction qui permet de les obtenir aisément. Soient, en effet, K et K| les cercles des points desquels on voit respectivement sous un angle droit les courbes H^et Hç^; ces cercles, indépendamment du point O, se coupent encore en un second poiiitM. ^c point est nécessairement le point de rencontre des tangentes cherchées, puisqu'elles sont rectangulaires entre elles. Si raainte- "^^lïl nous prolongeons le rayon OM jusqu'en son point de rencontre N avec le cercle décrit sur AA.' comme diamètre, il résulte ^es considérations précédentes que les deux tangentes communes ^\û se croisent au point M sont parallèles aux droites NA et NA'. D'où encore la proposition suivante :

Soit une hypocycloïde à trois points de rebroussement qui passe par deux points donnés A et A' et est tangente à la corde KM\ sur cette corde comme diamètre décrivons un cercle B et considérons le cercle K, lieu des points d^oh Von voit V hypocycloïde sous un angle droit. Ce cercle passe, comme on le sait, par le point O, milieu de la corde A A', et, en outré, est tangent au cercle C.

Étant pris un point quelconque M sur le cercle K, si Vonpro* longe le rayon OM jusqu^en son point de rencontre N avec le cercle C, les droites menées par le point ^parallèlement aux droites NA et NA' sont les deux tangentes rectangulaires entre elles que de ce point on peut mener à la courbe,

10. Les diverses hjpocjcioïdes qui, passant par les deux points A et A', sont tangentes à la corde AA', étant identiques entre elles, on peut les obtenir toutes par le déplacement d'une de ces courbes dans le plan.

Pour avoir une idée nette de ce déplacement, il faut chercher le lieu des centres instantanés de rotation dans le plan et le lieu décrit par ces centres relativement à la courbe mobile.

5s 'i GÉOMÉTRIE.

La courbe roulant sur les deux points A et A', les normal ^s menées en ces points sont respectivement perpendiculaires a ^^ droites AO' et A'O', et par conséquent se coupent sur le cercle^^ J dt'crit sur AA' comme diamètre au point diamétralement oppoc:^ m à O'; le lieu des centres instantanés de rotation dans le plan ^ donc le cercle C, dont le rajon est égal à 2R. On sait d'aillec» ^^ qiio les normales aux extrémités de la corde AA' se coupent sur— :^ cercle passant par les trois points de rebroussement de rhypo<»»> «^ cloïde, cercle dont le rayon est égal à 3K.

D'où la conclusion qui suit :

Étant pris sur un cercle C de rayon égal d 2R deux poiim^t^ diamétralement opposés A et A', si l'on fait rouler ce cer^m^k dans V intérieur d'un cercle (y de rayon égala 3R, on sait ^^ ne les deux points A et PJ décr lisent une même hypocycloïde à tr^^is points de rebroussement inscrite dans le cercle C. A un instcsrjit quelconque du mouvement, les points A et A' sont situés ^ str V hypocycloïde, tandis que la droite AA' lui est tangente] s m à cet instant on fixe le cercle C, et si Von fait rouler sur ce cercle le cercle C en entraînant avec lui la courbe, ce Ht courbe, dans son déplacement, passe constamment par les points fixes A et A' et demeure tangente à la droite kSl .

11. Les résultais qui précèdent peuvent se déduire aisément de quelques propositions très simples et purement géométriques.

Considérons, à cet eflTel, une ellipse E située dans Fespace el dont la projection orthogonale sur un plan donné Psoil un cercle C. Prenons arbitrairement sur cette courbe un point fixe A et un poin mobile M. Si par le milieu I de la corde AM nous menons un pla perpendiculaire à celte corde, il coupe le plan P suivant une droi dont l'enveloppe est une courbe H que l'on peut aussi é' demment définir comme le lieu des centres des sphères sjmétriq' par rapport au plan P et tangentes à Tellipse E.

Je dis d'abord que la courbe H est une hypocycloïde à f points de rebroussement.

Soit D une droite située dans le plan P; si d'un point ( conque N de cette droite comme centre on décrit une sj

PROPRIÉTKS DR L'HYPOCYCLOÏOE A TROIS POINTS DE REBROUSSKMEXT. 585

passant par le point A, cette sphère coupe le plan Q de l'ellipse suivant un cercle passant par le point A et par le point A' qui lui est symétrique par rapport à la projection orthogonale de D sur le plan Q.

Il est clair que le point N est sur la courbe H si ce cercle est tangent à l'ellipse, et, comme par les points A et A' on peut mener quatre cercles tangents à E, il en résulte que la courbe K est du quatrième ordre.

Soit N un point quelconque du plan P; de ce point comme centre décrivons une sphère passant par le point A; cette sphère coupe le plan Q suivant un cercle rencontrant Tellipse au point A et en trois autres points B, C et D. Les plans menés respectivement par les milieux des cordes AB, AC et AD coupent le plan P suivant des droites tangentes à II et se croisant au point donné N.

La courbe H est donc de la troisième classe.

Si le point N est rejeté à Tinfini dans une direction quelconque, la sphère dont je viens de parler se réduit au plan mené par A perpendiculairement à cette direction, et, comme ce plan ne coupe £ qu'en un point, il est clair qu'on ne peut mener à la courbe H qu'une tangente parallèle à une direction donnée. Cette courbe est donc doublement tangente à la droite de l'infini, et les points de contact sont situés sur les perpendiculaires menées aux asymptotes de la projection de l'ellipse sur le plan P. Cette projection étant un cercle, ces asymptotes, ainsi que leurs perpendiculaires, sont des droites isotropes. La courbe H est donc de troisième classe et doublement tangente, aux ombilics, à la droite de rinfini; par suite, c'est une hypocycloïde à trois points de rebroussement.

12. Cette hypocycloïde a, comme on le sait, trois points de rebroussement a, ^, Y<l*iî sont les sommets d'un triangle équilatéral, et le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le point de concours des tangentes de rebroussemenl.

Considérons Tun quelconque a de ces points de rebroussement; les tangentes que l'on peut de ce point mener à la courbe étant toutes les trois confondues en une seule droite, la sphère passant par A et décrite du point a comme centre coupe le plan Q suivant un cercle passant par A et osculaleur de l'ellipse E en un pointa'^

j86 OÉOMéTRIE.

la projection sur le plan Q de la tangente de rebroussement aa point a est d'ailleurs la droite menée par le milieu de la corde Aa et perpendiculairement à cette corde.

Si maintenant on remarque que les trois tangentes de rebroasscment sont concourantes, on obtiendra la proposition suivante, due à Slciner :

Etant donné sur une ellipse un point quelconque A, on peut déterminer trois cercles osculateurs de cette courbe qui passent par le point A; les trois points de contact et le point fi sont sur un même cercle.

D'après ce que je viens d'exposer, on peut ajouter que :

Si Vellipse se projette orthogonalement sur un plan donnéf suivant une circonférence de cercle, les droites menées perpendiculairement au plan de V ellipse par les trois points de contact rencontrent le plan P en trois points qui sont les sommets d'un triangle équilatéral y et la droite menée par le centre du cerck circonscrit aux trois points de contact, et perpendiculairement à son plan y rencontre le plan P au centre du cercle circonscrit à ce triangle équilatéraL

13. Prenons sur Tellipse E un autre point fixe B; à ce point correspond une seconde hjpoc^cloïde H'. Cherchons les tangentes communes aux courbes H et H'.

Je désigne par F et G les deux axes de Tellipse, par /et g les droites suivant lesquelles le plan P est coupé par les plans menés respectivement par F et G et normalement au plan Q. Les droites f e,\ g sont évidemment perpendiculaires entre elles, puisque F est parallèle au plan P.

Cela posé, si des points A et B on mène dans le plan Q des perpendiculaires à F, cet axe les divise en deux parties égales; il en résulte que y est une tangente commune à H et H', et les mêmes considérations s'appliquent à la droite g. Les deux courbes ont donc déjà en commun deux tangentes rectangulaires entre elles.

Considérons maintenant la corde AB et le plan mené par son point milieu perpendiculairement à sa direction; il coupe le plan P suivant une droite D qui est aussi tangente aux deux hypocycloïdes.