PROPRIÉTÉS DE L*HYPOCYCLOÏDE A TROIS POINTS DE REBR0U8SEMENT

». Les points de contact de celle droite s'obliendront évidem* L en prenant son inlersection avec les plans menés en A et en B lalement à l'ellipse.

>ur obtenir les autres poinls où elle rencontre les deux courbes, ène par les points A et B un cercle tangent à Pellipse; on peut erdeux de ces cercles, et leurs points de contact m et m' sont lélralement opposés. Si Ton construit les axes (*) de ces deux es, il est clair qu'ils rencontrent D en deux points apparlcà la fois à H et H'. Soient n cl /i' ces deux poinls ; on voit que lypocvcloïdes ont une corde commune à laquelle elles sont ;s les deux tangentes : elles sont donc égales entre elles, 1 peut remarquer que les droites menées aux points n et n' 3ntiellement à la courbe H sont les traces de deux plans periculaires aux cordes Am et Km! \ elles sont donc perpendires à leurs projections sur le plan P, et, comme la projection iamèlre mm' passe par le centre du cercle C, on voit que ces actions sont rectangulaires; il en est donc de même des deux mtes aux poinls n et n' ^ ce qui est une proposition bien connue.

. Lorsque le point A se déplace sur l'ellipse, l'hypocycloïde ui correspond demeure, comme je viens de le montrer, infae de forme en restant tangente aux deux droites (wesfei g. s que la droite qui joint les deux points de contact est la trace e plan P du plan normal à l'ellipse au point A. înons, en effet, par le point A les cordes Aa et A6, respecliint perpendiculaires aux axes F et G. Le point où la droite/ le rhypocycloïde H est le point de rencontre du plan P avec du cercle bilangent à l'ellipse aux points A et a. Si donc au L A on mène le plan normal à cette courbe, il contient ce point >nlact; par une raison semblable, il contient l'autre point de ict. La proposition que je voulais démontrer est donc établie.

. Si le point A se déplace infiniment peu sur l'ellipse, Thycloïde H roule sur les deux droites y et g^; la droite qui joint 3UX points de contact est une corde commune aux deux courbes

J'appelle, pour abréger, axe d'un cercle la droite passant par le centre de cle et perpendiculaire à son plan.

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el, de plus, leur est langente; par suite, elle a une longueur constante.

Donc :

Les traces y sur le plan P, des plans normaux à r ellipse E em^eloppent une hypocycloïde à quatre points de rebroussement. Le lieu des centres des sphères doublement tangentes h C ellipse se compose des deux tangentes doubles de rebroussement de cette hypocycloïde.

17. Au lieu de considérer une ellipse, j'aurais pu considéi-er une biquadratique quelconque, avant pour plan de symétrie le plan P et située sur un cjlindre dont la base est un cercle situé dans ce plan.

Sans rien changer aux démonstrations qui précèdent, on obtiendrait facilement les propositions qui suivent :

Étant donnée une birjuadratique résultant de l'intersection d'un cylindre droit, ayant pour base un cercle situé dans un plan P, ai'ec une sur/ace quelconque du second ordre ayant ce plan pour plan de symétrie, le lieu des centres des sphères qui, passant par les extrémités d'une corde de la courbe perpendiculaire au plan P, sont doublement tangentes à cette courbe, est une hypocycloïde H à trois points de rebroussement située dans le plan de symétrie.

Si ron considère les diverses cordes de la courbe perpendiculaires au plan P, les disperses hypocycloïdes qui leur correspondent sont identiques et ne diffèrent que par leur position dans le plan.

Les traces sur le plan de symétrie des plans normaux à lo biquadratique enveloppent une hypocycloïde à quatre points de rebroussement.

Les centres des sphères quadruplement tangentes à la biquadratique décrivent les deux droites rectangulaires qui constituent les tangentes doubles de rebroussement de cette dernière hypocycloïde,

18. La considération des trois points de rebroussement de Thypocjcloïde II conduit, relativement aux biquadratiques douées d*un