PROPRIÉTÉS DE I/HYPOCYCLOÏDE A TROIS POINTS DE HEBROUSSE.MENT. Ô

plan de symétrie, à un ihéorème analogue à celui qui a élé donné par Sleiner relativement aux coniques et que j*ai rappelé plus haut.

Gomme il est facile de le voir, il n*est pas besoin de supposer que la projection de la biquadratique sur le plan de symétrie soit un cercle, et Ton peut énoncer la proposition suivante :

i£tant donnée une biquadratique quelconque ayant pour

plan de symétrie un plan donné P, par les extrémités dUine

corde quelconque de celte courbe perpendiculaire au plan P,

on peut mener trois sphères qui ont avec la courbe un double

contact du second ordre; les six points de contact et les extré-

fnités de la corde sont sur une même sphère dont le centre est

dans le plan de symétrie.

Si la biquadralique se projette suivant un cercle sur le plan de sjmétrie, on peut ajouter que :

Les centres des trois sphères qui ont un double contact sont les sommets d'un triangle équilatéral, et le centre de la sphère ^ui contient les points de contact est le centre du cercle circonscrit à ce triant le.

19. Je reviens maintenant au cas précédemment étudié de Tellipse Ey quoique les considérations suivantes s'appliquent encore sans modification au cas plus général où l'on considère une biquadratique.

J^ai montré que, quand le point A se déplaçait sur Tellipse, rhjpocycloïde H se déplaçait, sans changer de forme, dans le plan P.

Pour étudier la loi de ce déplacement, je remarque que, en désignant respectivement par <p et y les points où H touche les droites/ et ^, la droite ©y * "^^ longueur constante, que j'appellerai 4K- Les normales à la courbe menées aux points cp et v so rencontrent en un point dont la distance au point d'intersection de y et de g est constante et égale à 4R» Le centre instantané de rotation décrit donc dans le plan un cercle de rayon égal à 4R- On sait d'ailleurs que, relativement à la courbe, il décrit le cercle qui lui est circonscrit et dont le rayon est égal à 3K.

Oo peut, par suite, se représeDter ainsi qu*ii suitle déplaçai de rhjpocjcloïde dans son plan :

Imaginons un cercle K de rayon égal à 4 K^puis deux am cercles K' et K" de rayons respectivement égaux à ZKet à et qui touchent tous les deux K au même point M. Si Von c^ sidère le diamètre ^ du cercle K" qui passe par le point M si Von /ait rouler ce cercle dans le cercle K', supposé fixcr^s^ , entraînant avec lui ce diamètre, on sait que cette droite ^"^ — t^^ loppe une hypocycloide H à trois points de rebroussement i'/j^ scrite dans le cercle R'.

Si maintenant on suppose que, cette courbe restant inva^^/a, blême nt liée au cercle K', on fasse rouler ce cercle dans le cercle R, V hypocycloide prendra successivement les divewses positions qui correspondent aux diverses positions du point K sur V ellipse.

Si, de plus, on imagine que le cercle K' roule, en même temps que le cercle K', dans l'intérieur du cercle K, et de façon qu'ils le touchent tous les deux toujours au même points la droite A, dans ce mouvement, enveloppera l' hypocycloide à quatre points de rebroussement qui est V enveloppe des traces des plans normaux à l'ellipse, tandis que ses extrémités décriront les axes de cette hypocycloide.

20. Considérons les deux hypocjcioïdes H et H' qui correspondent à deux, points donnés A et H de Tellipse E.

Soit R un point quelconque de celte ellipse; les plans menés respectivement par les milieux des deux cordes AB et BR et normalement à ces cordes coupent le plan P suivant deux droites ^ et y respectivement tangentes aux courbes H et H'.

Si, comme précédemment, nous appelons D la droite suivanl laquelle le plan P est coupé par le plan mené par le milieu de AB et perpendiculairement à cette corde, nous savons que D est à la fois une tangente commune et une corde commune à H et à H'. D'ailleurs, les perpendiculaires élevées aux points milieux des côtés d'un triangle se coupant en un même point, il en résulte que les tangentes ^ et y se rencontrent en un point de D. Elles soûl, du reste, perpendiculaires aux projections sur le plan P des cordes AR et BR, et, comme ces cordes font un angle constant (leur point

PROPRIÉTÉS DE L'hYPOCYCLOÏDE A TROIS POINTS DE REBROUSSEMENT. Ôgi

€fl<î rencontre décrîl, en eflel, le cercle C, tandis qu'elles tournent autour de points fixes de ce cercle), il en est de même de ces tangentes.

D'où le théorème suivant, que j'ai déjà démontré plus haut :

Si Von considère une droite quelconque tangente à une hypocycloïde à trois points de rebroussement, et si l'on imagine an angle de grandeur constante dont le sommet décrit cette droite, tandis qvHun de ses côtés demeure tangent à la courbe y le second côté de cet angle enveloppe une hypocycloïde égale ù la première.

21. Les considérations géométriques très simples dont je mp suis servi trouvent d'ailleurs, dans d'autres questions, des applications intéressantes. Je me bornerai ici à énoncer la proposition suivante :

Supposons que le sommet d^un angle de grandeur constante décrive une droite D, tandis que ses côtés enveloppent deux courbes R e/ K'; pour une position donnée de l'angle, soient respectivement a et a' les points de contact des deux côtés.

Cela posé, si Von construit V hypocycloïde à trois points de rebroussement qui oscule la courbe K au point a et touche la droite D, puis V hypocycloïde qui oscule la courbe ¥J au point a' et touche également la droite D, ces deux hypocycloïdes sont égales et rencontrent D aux deux mêmes points.

SUR LA GÉOMÉTRIE DE DIRECTION

Bulletin de la Sociéié mathématique de France; 1879-80.