DÉFINITION DES DIRECTIONS ET DES CYCLES

l. Considérons une droite quelconque située dans un plan; 00 peut supposer qu^elle soit décrite dans un sens déterminé par un point mobile. J'appellerai direction une droite définie ainsi par sa position et par le sens dans lequel elle est supposée décrite.

L'angle que fait une direction avec une autre direction arbitraire est évidemment défini à un multiple près de -itz,

A chaque droite A du plan correspondent deux directions oj^ posées, que je désignerai par les notations -f- A et — A; D éu»l une direction arbitraire donnée, je désignerai par — D la direction opposée.

î2. Les deux directions correspondant à une droite isolro|e doivent élre considérées comme confondues entre elles ; en d'auln-s termes, une direction isotrope se confond avec son opposée.

3. J'appellerai cycle un cercle défini non seulement par sa position, mais encore par le sens dans lequel on peut le suppo^r décrit par un point mobile.

A un cercle quelconque C du plan correspondent deux cycles opposés, que je désignerai par les notations -f- C et — C; K étant un cycle arbitraire donné, je désignerai par — K le cvcle opposé.

i. Une direction est tangente à un cjcle si la droite correspondant à la direction est tangente au cercle correspondant au cycl«î et si, en outre, sur Télémeut commun au cercle et à la droite, le sens de la direction est le même pour le cjcle et pour la direction.

SUR LA GÉOMÉTRIE DE DIRECTION. SqS

Si les sens sont inverses, je dirai que la direction est une tanînte apparente du cycle.

Un cycle doit être considéré comme l'enveloppe des directions ai lui sont tangentes. En particulier, le cycle peut se réduire à n point P, qui est l'enveloppe des directions menées par ce point;

une direction quelconque passe par le point P, il est clair qu'il n est de même de la direction opposée.

TVéciproquement, si deux directions opposées + A et — A sont angcntes à un cycle, ce cycle se réduit à un point situé sur la Ij^'oîie A.

â. Des définitions qui précèdent il résulte immédiatement qu'on ^e peut mener à un cycle qu'une tangente parallèle à une direction donnée et que deux cycles n'ont que deux tangentes comiDunes, par conséquent n'ont qu'un seul centre de similitude.

Trois cycles, pris deux à deux, ont trois centres de similitude qui sont en ligne di'oite.

On ne peut mener qu'un seul cycle tangent à trois directions données; l'expression de cycle inscrit dans un triangle donné ^ura donc une signification parfaitement déterminée.

II. — Rapport anharuonique de quatre directions. — Faisceaux et

RÉSEAUX DE DIRECTIONS. — FAISCEAUX EN INVOLUTION. — RÉSEAUX EN INTOLUTION.

6. Étant données quatre directions arbitraires A, B, C, D et ^lant tracé un cycle arbitraire dans le plan, menons à ce cycle des tangentes parallèles à ces directions, et soient respectivement a, A, c, d leurs points de contact. J'appellerai rapport anharmonique de ces quatre directions, et je désignerai par la notation R(A, B, C, D), le rapport anharmonique des quatre points a, 6, c, rf, lesquels sont situés sur un même cercle.

7. J'appelle faisceau de directions un sjstème de directions passant par un point fixe O.

Un faisceau de directions conjuguées deux à deux est en invo^ lution, si le rapport anharmonique de quatre quelconques d'entre elles est égal au rapport anharmonique des directions conjuguées* L — II. 38

Dans un faisceau eu involution, il y a deux direclions qui coï cident avec leurs conjuguées : ce sont les directions doubles faisceau. En les désignant par P et P', et par A et A' deux dire tions conjuguées quelconques, on voit que les directions P, P' A, A' sont harmoniques.

Les centres des cycles tangents aux directions P et P' décrîv une di^oite qui est la bissectrice de ces deux direclions et que j^ pellerai Vaxe du faisceau; Tinvolution est déterminée quand se donne les deux direclions doubles P et P', ou encore quand se donne le sommet O du faisceau et un cycle tangent aux di tions doubles. On peut ainsi facilement déterminer une invol tion, même quand les directions doubles sont imaginaires.

Soit R la droite menée par le point O perpendiculairement Taxe du faisceau; il est aisé de voir que les deux directions -\-9et — R sont conjuguées : je dirai que c'est la droite double du faisceau.

8. Considérons un faisceau en involution ayant pour sommel le point O, P et P' pour directions doubles, et R pour droite double. Menons par O une droite quelconque A, et soient D etiy les conjuguées des directions opposées H- A et — A; je dirai queD et D' sont deux direclions associées du faisceau.

Les direclions associées du faisceau forment une involution ayant même axe et même droite double que Tinvolulion donnée; ses direclions doubles sont les conjuguées harmoniques des directions isotropes relativement à P et P'.

9. Etant donnée une suite de cycles tangents à deux directions fixes quelconques Q et Q', si, par un point O pris arbitrairement dans le plan, on mène des tangentes à ces cycles j ces tangentes forment un faisceau en involution.

Les direclions doubles de ce faisceau sont évidemment les tangenles menées par le point O aux deux cycles qui, passant par ce point, louchent les deux direclions fixes. La droite double est la droite qui joint le point O au point de rencontre des directions Q elQ'.

10. J'appellerai réseau de directions un système de direclions tangentes à un même cycle.

SUR LA GÉOMÉTRIE DE DIRECTION. SgS

Un réseau est en învolution si les points de contact des directions avec le cycle forment une involution; dans tout réseau en învolution, il y a deux directions doubles. Deux directions conjuguées quelconques et les deux directions doubles sont conjuguées harmoniques.

Quatre directions forment un système harmonique lorsque, étant tangentes à un même cycle, leurs points de contact forment un système harmonique. Par suite, pour obtenir la conjuguée harmonique d'une direction B relativement à deux directions données A et A', il suffit d'inscrire un cycle dans le triangle déterminé par les directions A, A' et B. Joignons le point de rencontre de A et A' avec le point de contact de B : la droite ainsi obtenue rencontre le cycle en un second point, et la direction menée tangentiellement en ce point est la conjuguée cherchée.

H. Étant donnés une suite de cycles tangents à deux directions fixes quelconques et un cycle fixe K, si Von mène les tangentes communes au cycle fixe et aux cycles variables, ces tangentes communes forment un réseau en inçolution.

Les directions doubles de cette involution se détermineront en construisant les deux cycles tangents à K et aux directions fixes.

III. — Longitude de quatre directions. — STSTéMEs projectifs.

12. Étant données quatre directions A, B, C et D, désignons respectivement par a, p, v et 8 les intersections de A avec B, de B avec C, de C avec D et de D avec A. Cela posé, la longueur

ap — Py ^~ ï^ — ^*

est complètement définie en valeur absolue et en signe; le segment aj3, étant compté en effet sur la direction B, dont le sens est déterminé, a une valeur bien déterminée, et il en est de même des autres segments.

J'appellerai longitude des quatre directions A, B, C, D la longueur dont je viens de parler, et je la désignerai par la notation

596 OéoXlÊTRIB.

13. Lorsque quatre directions sont tangentes à un même cycle, leur longitude est nulle.

Réciproquement :

Si la longitude de quatre directions est nulle, elles sont tangentes à un même cycle.

14. Deux groupes de quatre directions sont dits projectifs si leurs rapports anharmoniques sont égaux, ainsi que leur longitude.

Deux systèmes de directions sont dits projecti/s si, étant prises quatre directions quelconques du premier système et les directions correspondantes du second système, les deux groupes ainsi obtenus sont projectifs.

Tous les théorèmes qui ont lieu relativement à deux systèmes de points homo graphique s situés sur une même ligne droite s'appliquent également à deux systèmes projectifs de directions.

15. De ce que j'ai dit plus haut (n® 13) il résulte immédiatement que, si quatre directions d'un des systèmes sont tangentes à un même cycle, les directions correspondantes dans l'autre système sont également tangentes à un même cycle.

A un cycle (ou un point) du premier système correspond donc un cycle (ou un point) dans le second système*

16. Étant donnés deux cycles C et K, on peut leur mener deux tangentes communes : j'appellerai distance tangentielle des deux cycles la longueur comprise entre les deux points de contact sur Tune des tangentes communes; cette distance n'est déterminée qu'en valeur absolue.

Considérons deux figures projeclives; soient C et K deux cycles appartenant à la première figure, A une de leurs tangentes communes touchant respectivement ces cycles aux points a et 8. Désignons par B une tangente à C infiniment voisine de A et passant par le point a, par D une tangente à K infiniment voisine de A et passant par le point S, enfin par C une direction arbitraire, par ^ le point d'intersection de B et de C, et par y le point d'intersection de D et de G.

SUR LA OéOMÊTRIE DE DIRECTION» 597

La loDgilude des qualre directions A, B, C et D a pour expression

L( A, B, C, D) = «p — Py h> y5 — s* ;

peut remarquer que ^y est infiniment petit et qu'en négligeant les infiniment petits on a

«P = ae, yS = e3;

On a donc, en négligeant les infiniment petits,

L(A, B, C, D) = as H- eS — oa = 2a8.

Si maintenant on remarque que, dans deux figures projectives, la longitude de quatre directions quelconques est égale à la longitude des quatre directions correspondantes, on pourra énoncer le théorème fondamental suivant :

Étant donnés, dans deux figures projectives, deux cycles C €t K appartenant à la première figure, soient T une tangente commune à ces deux cycles, c et k les points où cette tangente touche respectivement les cycles. Désignons par C et YJ les cycles correspondants dans la seconde figure, par T' la tan-gente commune qui correspond à T, et par d et k les points où elle touche C et K'.

Cela posé, la longueur ck est égale en grandeur et en signe à d k • C'est ce que j'exprimerai d'une façon plus concise (mais moins nette) en disant que la distance tangentielle de deux cycles est égale à la distance tangentielle des deux cycles correspondants.