IV. — Involution

17. Étant donnés trois couples de directions conjuguées (A, A'), (B, B') et (C, C), je dirai qu'ils forment une involution si quatre quelconques de ces directions et les quatre directions conjuguées sont projectives. On peut toujours déterminer deux directions P et V telles que ces directions forment avec les trois couples donnés un système harmonique.

Ces directions sont les directions doubles de l'involution, et il

SgS aéoMÉTRiE.

est facile de les déterminer quand on se donne deux couples tels

que(A, A')et(B, B')(*).

18. Un système de droites conjuguées est dit en involution si, étant prises quatre quelconques de ces directions, ces directions et les direclions conjuguées forment un système projectif.

Il y existe alors deux direclions P et P', telles que P, P', et deux directions conjuguées quelconques forment un système harmonique.

Une involution peut se définir au moyen des deux directions doubles P et P', ou encore (ce qui sera préférable si ces directions sont imaginairement conjuguées) au moyen du point de rencontre de ces directions et d'un quelconque des cycles qui leur sont tangents.

En appelant O le point de rencontre des deux directions doubles P et P', la droite passant par ce point, et qui est le lieu des centres des cycles tangents à P et à P, sera dite Vaxe de V involution^ la droite passant par ce même point perpendiculairement à Taxe la droite double de V involution.

19. Tous les théorèmes relatifs à un système de points en involution sur une même droite ont lieu relativement à un système de directions en involution m

20. Soient O un point fixe et K un cycle pris arbitrairement dans le plan, P et P' les tangentes (réelles ou imaginaires) que du point O on peut mener au cycle K; à chaque direction D du plan on peut faire correspondre une direction D' telle que les direclions D, D' et P, P' fassent un système harmonique.

Je désignerai cette transformation sous le nom de transformation par directions réciproques ; il est clair, en effet, qu'à la direction D' correspond la direction D.

(*) Je laisse de côté la solution de ce problème et des problèmes analogues; elle ne présente aucune difficulté, mais exigerait, pour être claire, d'assez nombreuses figures. Le lecteur y suppléera facilement.

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Les deux droites P et P' seront les deux directions doubles de la transformation, la droite qui joint le point O au centre de K l'axe de la transformation, et la droite R, menée par O perpendiculairement à l'axe, la droite double de la transformation.

SI une direction mobile A enveloppe une courbe M, la direction conjuguée (ou réciproque) A' enveloppera une courbe M' qui sera dite la transformée ou la réciproque de M.

21. Il est clair, d'après ce que j'ai dit plus haut sur l'involulion, qu'un système de directions et le système transformé sont projectifs; ou voit donc immédiatement que tout cycle a pour réci^ proque un cycle {ou un point).

Si deux cycles CétK ont pour réciproques les cycles C et K', la distance tangentielle des deux cycles C e^ K est égale à la distance tangentielle des cycles ÇJ et¥J {^).

22. Deux directions réciproques rencontrent la droite double R en deux points équidistants du centre O de la transformation,

23* Étant donnée une droite quelconque A, à celte droite correspondent les deux directions opposées -h A et — A, auxquelles correspondent, après la transformation, deux directions D et D' : je dirai que ces deux directions sont associées. Ainsi :

Deux directions sont associées si leurs réciproques sont opposées.

Un cycle se transforme généralement en un autre cycle; il peut, dans certains cas, se transformer en un point, et je dirai alors que c'est un cycle singulier,

2i. Les tangentes communes à deux cycles singuliers ont pour réciproques deux directions opposées et, par suite, sont deux droites associées.

(^) Cette proposition, des plus importantes dans la théorie de la transformation par directions réciproques, est analogue à la propriété suivante : Vangle sous lequel se coupent deux cercles se conserve après une transformation ^par rayons vecteurs réciproques.

Réciproquement :

Tout cycle tangent à deux directions associées est un cycle singulier; un cycle est singulier, si les tangentes qu'il a en commun avec un autre cycle singulier quelconque sont des directions associées.

En particulier, le point O, centre de la transformation, est un cycle singulier; pour qu^un cycle soit singulier, il faut dont et il suffît que les tangentes qu^on peut lui mener parle point O soient des directions associées.

25. Soient Q et Q' les conjuguées harmoniques des directions isotropes, relativement aux droites P et P; il résulte de ce qui précède que :

Pour qu'un cycle soit singulier, il faut et il suffit que les tangentes qu'on peut lui mener du point O constituent avec les directions Q et Q' un système harmonique.

26. Étant donné un cycle singulier quelconque, pour quun autre cycle soit singulier, il faut et il suffit que leur centre de similitude soit sur la droite R.

Deux droites associées quelconques se coupent sur la droite R.

Chaque point de la droite R doit être regardé comme un (^cle singulier, le point correspondant étant le symétrique dit point donné relativement au point O.

27. Soient C et C deux cycles réciproques quelconques; désignons par C" le symétrique de G' relativement à Vaxe de la transformation : les deux cycles G et C" ont pour axe radical la droite double R.

28. Étant donné un cercle quelconque K, à ce cercle correspondent deux cycles opposés -h K et — K; en désignant par C et G' leurs transformés, je dirai que G et G' sont deux cycles associés.

29. La transformation par directions réciproques me paraît, dans Tétude de la Géométrie plane, devoir être employée avec avantage à côté de la transformation par rayons vecteurs réci-

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proques (il est évident que cette dernière transforme un cycle en vin autre cycle ou une direction).

On peut toujours eflectuer la transformation de telle sorte qu*à deux directions données D et D' correspondent deux directions opposées -h A et — A; on voit qu^alors aux cycles tangents à D et âi D' correspondent des points de la droite A.

Comme application, proposons-nous le problème suivant :

Mener un cycle tangent à trois cycles donnés.

Construisons les tangentes communes à deux des cycles, et effectuons une transformation telle que ces deux tangentes se transforment en deux directions opposées : les deux cycles dont je 'viens de parler se transformeront alors en deux points, et le problème sera ramené immédiatement au suivant, qui a deux solutions :

Mener par deux points un cycle tangent à un cycle donné.

Plus généralement, on peut toujours effectuer une transformation, de telle sorte que trois cycles donnés se transforment en trois points (*).