VII. — Courbes en involution. — Hypercycles

31. Considérons une transformation par directions réciproques définie par ses deux directions doubles P et F, et une courbe M (j'entends ici par courbe une suite de points se suivant dans un sens déterminé, en sorte qu'en chaque point de cette courbe la tangente ait une direction déterminée),

La courbe M sera dite en involution si, D désignant une direction quelconque tangente à cette courbe et D' la réciproque de D, la direction D' est elle-même tangente à M.

Les tangentes à M sont ainsi conjuguées deux à deux, de telle sorte que chaque couple de tangentes conjuguées et les deux directions fondamentales P et P constituent un système harmonique.

32. Étant donnée une courbe en involution, considérons une direction A prise arbitrairement dans le plan et ses conjuguées harmoniques relativement aux couples de tangentes conjuguées de la courbe : ces conjuguées enveJoppent une courbe A'.

En considérant une autre direction B, on aurait une autre courbe B', enveloppe des conjuguées harmoniques de B relativement aux couples de tangentes conjuguées de la courbe. Cela posé, si A' est un cycle, je dis que B' est également un cycle.

On peut, en eilet, énoncer cette proposition :

Étant donné un système de directions en involution, les conjuguées harmoniques de deux directions quelconques relativement aux couples de directions conjuguées de V involution forment deux systèmes projectifs ( ' ).

(') Comme je l'ai dit plus haul, tous les lliéorèmes relatifs aux systèmes de points situés en ligne droite ont leurs analogues relativement aux systèmes de directions dans un même plan; la proposition sur laquelle je m'appuie ici découle immédiatement de la proposition bien connue qui suit :

Si quatre couples de points sont en involution, les conjugués harmoniques

SUR LA GÉOMÉTRIE DE DIRECTION

Il résulte de là que B' et A' sont deux courbes projeclîves, ce qui démontre la proposition.

33. J'appellerai hypercycle une courbe en involution M jouissant de la propriété énoncée. Une telle courbe sera donc définie par les deux directions fondamentales P et P', par une direction A et par le cycle K, qui est l'enveloppe des conjuguées harmoniques de A relativement aux tangentes conjuguées de M; je dirai que le cycle K est le cycle polaire de la direction A.

On voit qu'à chaque direction du plan correspond un cycle polaire, et l'on démontrera facilement les propositions suivantes :

Si K est le cycle polaire d'une direction donnée A relativement à un hypercycle M, le cycle polaire de toute tangente à K est tangent à la direction A.

Les tangentes communes aux cycles polaires de deux directions opposées -+- D ^^ — D ont pour cycles polaires deux points de la droite D.

On conclut de là qu'il y existe une infinité de directions dont les cycles polaires se réduisent à des points.

34. 11 est clair qu'un hypercycle M se transforme en un hypercycle M' par une transformation par directions réciproques; si P et P' sont les deux directions fondamentales de M, les réciproques de P et de P^ sont les directions fondamentales de M'.

De là résulte que, si P et P' sont réelles, on peut toujours effectuer une transformation réelle de telle sorte que les réciproques de P et P' soient opposées, et par suite que la transformée ait un axe de symétrie.

Si, au contraire, P et P' sont imaginairement conjuguées, on peut effectuer une transformation réelle de telle sorte que les réciproques de P et de P' soient deux directions isotropes, et alors la transformée a un centre de symétrie.

d*un point de la droite, pris à volonté, relatifs aux quatre couples de points, ont toujours le même rapport anharmonique, quel que soit ce point ( Chasles, Traité des sections coniques, p. 99).

SUR LA

Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences; 1881.

Dans une Note insérée dans le Bulletin de la Société mathématique (Sur la Géométrie de direction^ t. VIII, p. 196), fai fait connaître une transformation nouvelle qui présente la plas grande analogie avec la transformation par rayons vecteurs réciproques; je me propose d^exposer brièvement comment on peut l'étendre à Tespace.

1. Une surface S, étant donnée, partage Pespace en deux régions, et Ton peut fixer arbitrairement celle de ces régions que Ton regarde comme extérieure à la surface; je désignerai sous le nom de semi-sur/ace une surface ainsi définie. A un plan correspondent, par exemple, deux semi-plans que Ton peut appeler opposés et que l'on doit regarder comme deux semi-surfaces distinctes; à une surface correspondent également deux demi-sphères opposées.

Pour que deux demi-surfaces se touchent en un point, il faut non seulement qu'elles aient même tangente en ce point, mais encore que les régions extérieures aux deux surfaces soient les mêmes dans le voisinage de ce point. De là résultent immédiatement les propositions suivantes :

On ne peut mener à une semi-sphère qu'un semi-plan parallèle à un semi-plan donné; une semi-sphère est déterminée par la condition qu'elle touche quatre semi-plans donnés, et un semi-cône de révolution par la condition qu'il louche trois semi-plans donnés.

SUR LA TRANSFORMATION PAR DIRECTIONS RÉCIPROQUES. 6o5

Cela posé, la transformation par directions réciproques est entièrement définie par les conditions suivantes :

Deux semi-plans réciproques se coupent sur un plan fixe que j^appellerai plan fondamental; deux couples de semi-plans réciproques forment un système de quatre semi-plans tangents à un semi-cône de révolution.

La transformation est évidemment déterminée quand on se donne le plan fondamental et deux semi-plans réciproques.

2. Voici les propriétés fondamentales de cette transformation : A un système de semi-plans parallèles correspond un système

de semi-plans parallèles; à une semi-sphère correspond une semisphère qui peut se réduire à un point; à un semi-cône de révolution, une semi-surface de même nature qui peut se réduire à un cylindre de révolution ou à une droite.

On peut toujours effectuer une transformation telle que quatre semi-sphères données se transforment en quatre points.

Si trois semi-surfaces touchent un semi-plan aux points a, 6, c et si les semi-surfaces réciproques touchent le semi-plan réciproque aux points a, ^, v, les triangles abc et a^y sont égaux.

Les lignes de courbure des semi-surfaces sont conservées dans la transformation.

Deux cas sont particulièrement à remarquer. En premier lieu, si le plan fondamental est à Tinfini, la transformée est une semisurface parallèle à la semi-surface donnée; en second lieu, si un cône isotrope a pour réciproque un cylindre droit dont l'axe est perpendiculaire au plan fondamental, on a la transformation remarquable due à M. Bonnet (*).

3. Si Ton prend une surface algébrique quelconque et si l'on fixe arbitrairement la région que l'on regarde comme extérieure, la semi-surface ainsi obtenue ne forme généralement un être géométrique que si on lui adjoint la semi-surface opposée; elle doit être considérée comme une semi-surface composée de deux feuillets superposés et opposés entre eux, ces feuillets formant les deux

( * ) Note sur un genre particulier de sur/aces réciproques ( Comptes rendus, t. XLII, p. 485).

6o6 GÉOMÉTRIE.

nappes de l'enveloppe d'une sphère de rayon infiniment petit dont le centre décrit la surface. Une quadrique, par exemple, doit être regardée comme une semi-quadrique de quatrième classe. Cependant quelques semi-surfaces, composées d'une seule nappe, forment un être géométrique distinct : telles sont celles qui proviennent du plan, de la sphère, et en général de toutes les antîcaustiques des surfaces algébriques.

4. La transformée d'une semi-surface S est une anticaustique; abaissons, en effet, de chaque point M de S une perpendiculaire MP sur le plan fondamental, et prenons sur MP un point M' tel que le rapport de M'P à MP soit constant v le point M' décrit une surface S'. Cela posé, si, l'indice de réfraction étant convenablement choisi, des rayons perpendiculaires au plan fondamental se réfractent sur S', la réciproque de S est une des catacaustiques de S'; on obtiendra du reste toutes ses catacaustiques en déplaçant le plan fondamental parallèlement à lui-même.

Il résulte de là que l'on sait déterminer les lignes de courbure des anticaustiques de S' si l'on sait les déterminer pour la semisurface S. En particulier, si S' est une semi-quadrique, il en est de même de S, et l'on voit que Ton peut obtenir les lignes de courbure des anticaustiques des surfaces du second ordre, les rayons incidents étant parallèles, proposition que j'avais déjà démontrée dans mon Mémoire Sur une sur/ace de quatrième classe, etc. (Journal de Mathématiques y 3*^ série, t. II, p. i43).

M. Darboux qui, dans une Note présentée à l'Académie dans sa dernière séance, a bien voulu rappeler ce résultat, a démontré de plus que ces anticaustiques sont les surfaces les plus générales de la quatrième classe, qui ont pour ligne double l'ombilicale.

Des propositions qui précèdent il résulte qu'elles peuvent être considérées comme les transformées des semi-quadriques; or, si l'on considère une semi-surface quelconque S de quatrième classe ayant pour ligne double l'ombilicale, et pour autre ligne double la conique A, on voit que chaque point M de k est le sommet de deux semi-cônes de révolution circonscrits à 2; tous ces semi-cones peuvent, par une transformation convenable, être transformés en droites se partageant en deux systèmes tels qu'une droite quelconque de l'un des systèmes rencontre toutes les droites de l'autre

système. D'où il suit que la transformée est une semi-quadrique, ce qui démontre le beau théorème de M. Darboux; on voit également, comme Ta énoncé ce géomètre, que 2 peut être, de quatre façons différentes, considérée comme anticaustique d'une quadrique.

La surface la plus générale de quatrième classe, qui a pour ligne double l'ombilicale, est donc la transformée par directions réciproques d'une semi-quadrique, et un grand nombre de ses propriétés métriques se déduisent immédiatement des propriétés des génératrices rectilignes des quadriques et des propriétés des cônes de révolution qui leur sont circonscrits.

Nouvelles Annales de Mathématiques; i88a.

1. Une droite étant donnée, on peut supposer qu'elle soit décrite dans un certain sens par un point mobile; une telle droite, déterminée ainsi par sa position et le sens dans lequel elle est décrite, est désignée sous le nom de semi-droite ; ce sens est indiqué sur la figure par une flèche placée près de la droite ( fi g. i).

Une même droite pouvant être décrite dans deux sens difTérents détermine deux semi-droites distinctes, que Ton appelle semidroites opposées.

2. Un cercle étant donne, on peut supposer également qu'il soit décrit dans un certain sens par un point mobile; un tel cercle, déterminé ainsi par sa position et le sens dans lequel il est décrit, est désigné sous le nom de cycle; ce sens est indiqué sur la figure par une (lèche placée près de la circonférence du cycle.

Un même cercle, pouvant être décrit dans deux sens différents, détermine deux cycles distincts que l'on appelle cycles opposés,

3. En un point A d'un cycle, la tangente doit être considérée,

Fig. I.

le lon^ de Télément infiniment petit commun au cycle, comme décrite dans le même sens que le cycle; la tangente au point A est donc une semi-droite bien déterminée.

De là résultent les conséquences suivantes :

I® On ne peut mener à un cycle donné qu*une tangente rallèle à une semi-droite donnée.

Il est claîr, en effet, qu'on peut mener au cercle déterminé par le cycle deux tangentes parallèles à la droite déterminée par la semi-droite donnée; mais, si Ton désigne par A et par A' les points de contact de ces tangentes, on voit que les tangentes en ces

points ont des directions opposées; une seule d'entre elles est

donc parallèle à la semi-droite donnée.

2" Deux cycles donnés ont deux tangentes communes et rien ont que deux.

Sur \di fig, 2, on voit que les serai-droites AA' et BB' sont tangentes à la fois aux deux cycles K et K'. Les cercles déterminés par ces cycles ont quatre tangentes communes, dont deux sont précisément AA' et BB'; si l'on considère une quelconque des

Fig. 2.

deux autres, par exemple GC, il est aisé de voir que, quel que soit le sens dans lequel on suppose décrite cette droite, elle ne peut toucher les deux cycles donnés, d'après la définition donnée du contact d'un cycle et d'une semi-droite.

Deux cycles ont donc seulement deux tangentes communes ; leur point de rencontre P est le centre de similitude des deux cycles.

Ce centre de similitude est unique (*).

(•) Une proposition bien connue peut, par suite de cette dcfinition, s'énoncer de la façon suivante :

Étant donnés trois cycles, les trois centres de similitude de ces cycles pris deux à deux sont en ligne droite.