L. — II. 3g

6lO GKOMÉTRIE.

La distance AA', coDiprise sur Tune des tangentes communes entre les points de contact avec les cycles, est la distance tangentielle des cycles; elle n'est déterminée qu'en valeur absolue, mais non en signe.

4. Le rayon d'un cycle sera regardé comme positif si ce cycle est décrit dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre, comme négatif dans le cas contraire.

Par suite, en désignant par T la distance tangentielle des deux cycles dont les centres sont O et O', \9ifig. 2 montre immédiatement que, en désignant par D la distance des centres, on a la relation

Cette formule détermine, dans tous les cas possibles, la distance

tangentielle de deux cycles; en particulier, si nous considérons

deux cycles opposés, si le rayon d'un de ces cycles est R, l'autre

est — R; d'ailleurs, la distance de leurs centres est nulle; on a

donc, dans ce cas,

5. Une semi-droite étant donnée, ainsi qu'un point P, le cycle qui a pour centre ce point et qui touche la semi-droite est bien déterminé; la distance du point P à la semi-droite est le rayon de ce cycle : elle est donc déterminée en grandeur et en signe.

(). Un point doit élre considéré comme un cycle d'un rayon inlininicnt petit; toutes les semi-droites passant par ce point doivent être considérées comme tangentes à ce cycle.

7. Etant données deux semi-droites quelconques, on peut construire une infinité de cvcles qui leur soient tangents; les centres do rrs oycles sont situés sur une même droite que Ton appellera la hissrrtricr des semi-droitcs.

Si, lo point P d'intersection des semi-droites restant fixe, l'angle i\\\r WmxI ces semi-droites diminue indéfiniment, en sorte qu'elles ((MidiMit loulos les deux à se confondre avec leur bissectrice, les rnViiUM tl«* lous les cvcles inscrits diminuent indéfiniment et à la liinilo 10 rêiluisont à dos points, tandis que les deux semi-droites ili)\iiMiMont doux semi-droites opposées.

TRANSFORMATIONS PAR SEMI-DROITES RÉCIPROQUES. 6ll

On voit ainsi que les cycles qui louchent deux semi-droites opposées sont les divers points de la droite qu'elles déterminent.

8. Il résulte aussi de ce qui précède qu'un cycle assujetti à toucher trois semi-droites données est entièrement déterminé. Son centre est le point de rencontre des trois bissectrices des semidroites prises deux à deux.

MÉTHODE DE TRANSFORMATION PAR SfiMI-DROITES RÉCIPROQUES.

9. Considérons une droite fixe Q ; traçons dans le plan un cycle quelconque K ayant pour centre le point O et, sur la perpendiculaire abaissée du point O sur la droite O, prenons un point arbitraire P (^fig* 3).

Cela posé, à chaque semi-droite MN du plan on peut faire cor-

respondre une autre semi-droite de la façon suivante : menons au cycle K la tangente AB parallèle à MN, joignons le point de contact A au point P, et, au point A' où la droite ainsi obtenue rencontre le cycle, menons la tangente A'B'; menons enfin, par le point M où la semi-droite donnée coupe la droite fixe Û, une semidroite MN' parallèle à A'B'.

MN' correspond ainsi à MN, et il est clair, en examinant les constructions efiectuées, que MN correspond réciproquement à MN'; on dit que ces deux semi-droites sont réciproques.

Il résulte évidemment de ce qui précède que :

I** Deux semi-droites réciproques se coupent sur la droite Ù que l'on appelle /'axe de transformation;

2° Des semi-droites parallèles ont pour réciproques des semi-droites parallèles.

6ia GÉOMÉTRIE.

10. Si, du point P, on mène des tangentes au cycle K, on voit que les semi-droites parallèles à ces tangentes sont leurs réciproques à elles-mêmes. Il y a donc deux séries de semi-droites parallèles qui se transforment en elles-mêmes; ces semi-droites font des angles égaux avec Taxe de transformation. Il est toutefois à remarquer que ces semi-droites ne sont réelles que si le point P est extérieur au cycle K.

H. Théorème. — Deux couples quelconques de semi-droites réciproques sont tangents à un même cycle.

Soient, en efTet, û Taxe de transformation, MN et MN' deux semi-droites réciproques, SK une semi-droite quelconque du plan

{fig. 4).

Construisons le cycle qui touche les semi-droites MN, MN' et SR; menons la droite NN' qui joint les points de contact de MN

et de MN', et désignons par P le point où cette droite coupe la perpendiculaire abaissée du point O sur l'axe û. Il est clair, d'après ce qui précède, que la transformation qui a pour axe û et dans laquelle MN correspond k MN' peut être définie au moven du cycle K et du point P. Si maintenant on remarque que P est le pôle de la droite Q relativement au cycle K, on voit que la tangente RS' est la réciproque de SR; les deux couples de semidroites réciproques MN et MN', RS et RS' sont deux tangentes au C}cle K, ce qui démontre la proposition énoncée.

12. La transformation par semi-droites réciproques est aussi caractérisée par les deux propriétés suivantes :

Deux semi-droites réciproques se coupent sur Uaxe de tram-

jformation ; deux couples de semi-droites réciproques sont tang'ents à un même cycle (*).

Il est clair que la transformation est entièrement défînie quand OQ se donne Taxe de transformation et deux semi-droites réciproques D et D'. Pour obtenir la réciproque d'une semi-droite quelconque A, que Von construise le cycle tangent à D, D' et A, et que, par le point M où A coupe Taxe de transformation, on mène la deuxième tangente au cycle, cette tangente sera la semidroite cherchée.

13. Considérons une courbe K comme l'enveloppe d'une semidroite mobile A, la réciproque A' de A enveloppera une courbe K' qu'on appelle la transformée de la courbe K.

Théorème. — Quand on effectue une transformation par semi-droites réciproques, un cycle a pour transformé un autre cycle.

Soit Q l'axe de transformation, et considérons un cycle quel-

Fig. 5.

conque K coupant l'axe aux points A et B. Menons à ce cycle des tangentes MN et M'N' parallèles à la direction des semi-droites

(*) La transformalion par rayons vecteurs réciproques est également caractérisée par les deux propriétés suivantes :

Deux points réciproques sont situés sur une droite passant par le pôle de transformation ;

Deux couples de points réciproques sont situés sur un même cercle.

6l4 GÉOMÉTRIE.

qui, dans la transformalion, sont leurs réciproques à elles-mêmes, et désignons par P le point de rencontre de ces droites {Jig* 5).

Cela posé, construisons le second cjcie K' qui, passant par les points A et B, touche les semi-droites PM et PM'; je dis que le cycle R' est le transformé de K.

On voit en effet que la transformation est définie par Taxe û, le cycle K et le point P (9).

Par le point P, menons une sécante quelconque coupant le cycle R' au point a et le cycle R aux points P et y. On sait que les tangentes menées en a et y se coupent en un point T de l'axe radical Q des deux cycles; d^ailleurs, ^û est parallèle à aT : il résulte donc de la définition .donnée plus haut (9) que aT et yT sont deux semi-droites réciproques. L'enveloppe des réciproques des semi-droites qui enveloppent R est donc le cycle R' : ce qu'il fallait démontrer.

14. On voit ainsi qu'un cycle R a pour réciproque un cycle R'. La relation qui existe entre deux cycles réciproques est caractérisée par les deux propriétés suivantes :

1° Leur axe radical est l'axe de transformation ;

2° Leurs tangentes communes sont parallèles à deuw directions fixes y à savoir aux directions des senii- droites qui se transforment en elles-mêmes.

Désignons respectivement par R et R' les rayons des deux cycles (ces quantités étant données en grandeur el en signe) et par D et D' les distances de leurs centres à Taxe ( * ).

La première propriété donne la relation suivante

et la deuxième, la relation

OÙ a désigne une constante caractérisant la transformation; d'où

(^ ) On doit ici considérer l'axe de Iransformation comme une semi-droite, en lui doiititinl un sens arbitraire, de sorte que D et D' sont aussi déterminées en IjrMiHlfiur rt en signe.

TRANSFORMATIONS PAR SEMI-DROITES RÉCIPROQUES. 6l5

encore, en combinant ces deux relations, (a) D-f-D'= l(R-4-R').

On en déduit

, 2aD— R(n-a«)

Le cycle K' est ainsi complètement déterminé, quand le cycle K est donné, puisque Ton connaît la distance de 6on centre à Taxç et son rayon.

Remarques. — Le cycle K' se réduit à un point, si R'== o, ce qui exige que Ton aU

Ra« — 9.aD-+- R = o, d'où

Il en résulte qu'un cycle étant donné, ainsi que l'axe de transformation, on peut toujours déterminer le module a de la transformation, de façon que ce cycle ait pour transformé un point, dans le cas où ce cycle ne coupe pas l'axe. En désignant, en effet, par R son râjon et par D la distance de son centre à l'axe, on voit que, D* — R* étant positif, l'équation précédente détermine pour le modale a deux valeurs réelles.

Soit K {Jig> 6) le cycle donné; de son centre O abaissons une

Fig. 6.

perpendicalaire OP sur l'axe de transformation, et de son pied P comnie centre décrivons le cercle qui coupe orthogonalement le cyde donné. Ce cercle coupe la droite OP en deux points A et B;

6l6 GÉOMÉTRIE.

on prouvera aisément quUl eiciste une transformation telle que les tangentes au cycle K aient pour réciproques les semi-droites qui se croisent au point A. 11 existe également une autre transformation dans laquelle le point B est le réciproque du cycle K.

Une transformation étant définie par Taxe de transformation û et par le module a, il y existe une infinité de cycles qui ont pour transformés des points ; ils sont définis par la relation

Leur propriété caractéristique est que leur rayon varie proportionnellement à la distance de leur centre à Ca^e; elle présente une grande importance dans l'application de la transformation par semi-droites réciproques à la théorie des anticaustiques par réfraction.

lo. Théorème. — La distance tangentielle de deux cycles est égale à la distance tangentielle des deux cycles correspondants^

Considérons, en effet, deux cycles; désignons respectivement par R et r leurs rayons, par D el rf les distances de leur centre à l'axe de transformation, par p la projection sur cet axe de la droite qui joint leurs centres, et par T leur distance tangentielle ; on aura évidemment

Soient de même R' et /-' les rayons des cycles transformés, D' et rf' les distances de leurs centres à Taxe, et T' leur distance tangentielle. Si l'on remarque que deux cycles réciproques ont leurs centres sur une même perpendiculaire à l'axe, il est clair que l'on a

Or les formules données plys haut donnent aisément

, 5.a(D — ^/)-(aî-M)(R-r)

Substituant ces valeurs dans l'expression précédente, il viendra, toutes réductions faites,

ce qui démontre la proposition énoncée (').