APPLICATIONS DE LA MÉTHODE

16. Soient trois cycles K, K' et K" ayant respectivement pour centre les points O, CV et O". Soient P' le centre de similitude des cycles O et O', P' le centre de similitude des cycles O et O''. Supposons que la droite PP' ne coupe pas le centre O; en prenant cette droite pour axe de transformation, nous pourrons toujours, en choisissant convenablement le module de la transformation, transformer le cycle O en un point w. Les deux tangentes F^A et P'B auront pour transformées les semi-droites opposées déterminées par les points P' et w; le cycle K', étant tangent à P'A et P^B, aura pour transformé un cycle tangent à ces demi-droites opposées, et, par conséquent, un point tù' qui sera l'intersection de P'iù avec la perpendiculaire abaissée de O' sur Taxe P'P'.

Les deux tangentes P'C et P'D (/ig* y) auront pour transformées les semi-droites opposées déterminées par la droite Pw, et il est clair que le cycle O", qui touche P'C et P'D, aura pour transformé le point o>", où P'w rencontre la perpendiculaire abaissée de O''' sur Taxe P'P'. Si Ton considère maintenant les deux tangentes communes aux cycles K'K", elles auront pour transformées les semi-droites opposées déterminées parles points o)' et to'^. D'où il résulte que ces tangentes se coupent au point P où la droite w'w'' rencontre P'P", et de là une démonstration nouvelle de cette proposition rappelée plus haut : Les trois centres de similitude de

(*) RelatÎTcment à la transforma lion par rayons vecteurs réciproques, le Ihéorème analogue est le suivant : L* angle sous lequel se coupent deuçc cercles est égal à l'angle sous lequel se coupent les cercles correspondants.

Ce théorème s'étend à deux courbes quelconques, et de même dans la transformation par semi-droites réciproques :

Si une semi-droite A touche deux courbes aux deux points a et b, et si la semi-droite réciproque A' touche les courbes transformées aux points a' et b', les deux longueurs ab et a'b' sont égales.

ifois cycles considérés deux à deux sont en ligne droite; il suit de là également que si trois cycles sont tels que la droite, qui contient leurs centres de similitude, ne les rencontre pas, on

Fis- :■

peut, par une transjormation par semi-droites réciproques, les transformer en trois points (').

17. La transformation par semi-droites réciproques peul servir, comme la transformation par rayons vecteurs réciproques, soit n simplifier la solution de certains problèmes, soît à généraliser diverses propriétés des figures,

18. Pour en donner un exemple simple, considérons le problème suivant : Construire un cycle touchant trois cycles donnés.

Supposons que les cycles donnés K., K' et K" soient tels que la droite qui contient leurs centres de similitude ne les coupe pas, nous pouvons, d'après ce qui précède, en prenant cette droite pour axe de transformation, transformer les cycles donnés en trois points ti), w' et ta". Le cercle passant par ces points détermine deui cycles opposés H et II' dont les réciproques seront les solutions du problème. Deux cycles opposés rencontrant l'axe de transformation au\ mêmes points, il en est de même de leurs réciproques;

(') La propriétd analogue dans ta théorie de U Iransformaliaii |>ar rjiuns vecteurs réciproques est la suivante : Lorsque rfeux cercles se coupcnl. on peut toujours les transformer en deux droites.

d'où il suit que le problème proposé a deux solutions, él que Taxe radical des deux cjcies qui satisfont à la question est Taxe de similitude des cycles donnés.

Le problème de mener un cercle tangent à trois cercles donnés se ramène immédiatement au précédent. On peut, en effet, donner à un des cercles un sens arbitraire, de façon à le transformer en un cycle; on transformera également les deux autres cercles en cycles en fixant leur direction, ce qui pourra se faire de quatre façons différentes. A chaque groupe de cycles correspondent deux solutions; le problème proposé aura donc en tout huit solutions.

19. Un point décrivant dans un sens déterminé une semi-droite ou un cycle, si l'on emploie la transformation par rayons vecteurs réciproques, on voit que le point transformé décrit une autre semi-droite ou un autre cycle (lequel peut se réduire à une semidroite quand le pôle de transformation est sur le cycle considéré).

On peut souvent, avec avantage, employer simultanément la transformation par rayons vecteurs réciproques et la transformation par semi-droites réciproques. Ainsi, en général, étant donnés cinq cycles, on peut, par deux transformations successives, les transformer en deux semi-droites et en trois points. En effet, si deux des cycles se coupent, par une première transformation par rayons vecteurs réciproques, on pourra les transformer en deux semi-droites. Les trois autres cycles ayant pour transformées K, K' et K^, si Taxe de similitude de ces cycles ne les rencontre pas, on pourra, par une transformation par semi-droites réciproques, les transformer en trois points, tandis que les semi-droites se transformeront en semi-droites.

SUR LES HYPERCYCLES.

Comptes rendus des séances de l* Académie de* Sciences; 1882,

1. Une droite étant donnée, on peut la supposer décrite par un point mobile dans un sens déterminé; je désignerai une pareille droite, dont la position et la direction sont données, sous le nom de semi-droite ('). A une droite donnée correspondent deux -^cx semi-droites ayant des directions différentes, et que j'appellerai mû

semi-droites opposées.

Je désignerai sous le nom de cycle un cercle décrit dans un sens -^ donné; eu un point d'un cycle, la tangente est une semi-droite -?

parfaitement déterminée. A un cercle correspondent deux cycles opposés. Il résulte immédiatement de ces défînitions qu'à un cycle donné on ne peut mener qu'une tangente parallèle à une semidroite donnée, que deux cycles n'ont que deux tangentes communes et un seul centre de similitude, qu'un cycle tangent à trois semi-droites données est complètement déterminé. Le rayon d'un cycle sera regardé comme positif si le point qui le décrit se meut dans le sens des aiguilles d'une montre, comme négatif dans le cas contraire. La distance d'un point à une semi-droite est égale au rayon du cycle qui a pour centre ce point et touche la semi-droite; elle est donc déterminée en grandeur et en signe.

Deux couples de senii-droiles (A, A') et (B, B') forment un système harmonique si elles touchent un même cycle et si les points de contact divisent harmoniquement le cycle; A' est dite la conjuguée harmonique de A relativement à B et B\

(') Dans une Note préccdcmnieot publiée, Sur la Géométrie de direction {Bulletin de la Société mathématique de France, t. VIII, p. 196), j'ai dési{;né la semi-droite sous le nom de direction; j'ai cru devoir modiOcr celte expression le mot direction ayant en Géométrie un sens très précis.

SUR LES UYPERCYGLES. 631

Un point doît être considéré comme un cycle de rayon infiniment petit.

2. Si l'on considère une courbe algébrique comme l'enveloppe d'une semi-droite, elle ne constitue pas, en général, un être géométrique; il faut lui adjoindre la même courbe, enveloppée par la semi-droite opposée. On doit la considérer comme composée de deux courbes opposées, qui sont l'enveloppe d'un cycle de rayon infiniment petit; en sorte qu'en chaque point il y a deux tangentes opposées et que l'on doit considérer comme distinctes.

Certaines courbes algébriques (le cercle, par exemple) constituent elles-mêmes, quand on attribue à leurs tangentes un sens déterminé, un être géométrique. Un des caractères distinclifs de ces courbes, que j'appellerai courbes de direction^ consiste en ce que l'enveloppe d'un cercle de rayon constant, dont le centre décrit la courbe, se décompose en deux courbes distinctes. Il en est de même des courbes que je désigne sous le nom A* hypercycles; elles comprennent l'hypocycloïde à quatre points de rebroussement, la parabole ainsi que les courbes qui leur sont parallèles, et plus généralement toutes les anticaustiques de la parabole, les rayons incidents étant parallèles.

Étant donnée une tangente quelconque A. à un hypercycle, il lui correspond une autre tangente A' telle que A, A' et deux semidroites fixes P et P' (que l'on peut appeler les semi-droites fondamentales de la courbe) forment un système harmonique. Je dirai que deux tangentes telles que A et A' constituent un couple cle tangentes conjuguées.

Cela posé, l'hypercycle est défini par la propriété suivante : les conjuguées harmoniques d'une semi-droite du plan D, par rapport aux couples de tangentes conjuguées de la courbe, enveloppent un icycle K.

L'hypercycle est aussi entièrement déterminé quand on se «donne les semi-droites D, P et P' et le cycle K, et Ton peut, en s'appuyant sur la définition précédente, construire autant de couples de tangentes conjuguées qu'on le veut. On peut, en particulier, remarquer que tout cycle touchant les semi-droites Ibnda- ^^^entales a quatre tangentes communes avec riiypercycle; elles 'Constituent deux couples de tangentes conjuguées, et peuvent se

Gaa GÉOMÉTRIE.

construire avec la règle et le compas. Le cercle déterminé par l cycle a quatre autres tangentes communes avec Thypercycle; mai ces quatre tangentes ne constituent pas des couples de tangente conjuguées et ne peuvent pas se construire au moyen de la règl et du compas.

3. La propriété la plus importante de l'hypercycle est la suivante: — Soient A et A' un couple de tangentes conjuguées et a leur pointas j de rencontre, B et B' un autre couple de tangentes conjuguées^ t et b leur point de rencontre; T désignant une tangente quelconque à l'hypercycle, appelons respectivement a, a', ^ et j3' les points où T rencontre les semi-droites A, A', B et B'. Cela posé, on peul énoncer cette proposition : quelle que soit la tangente considérée^ la longueur

a une valeur constante en grandeur et en signe.

La même proposition peut encore s'énoncer de la façon suivante r Menons les cycles qui touchent respectivementles semi-droites A»

A' et T et les semi-droites B, B' et T; si l'on désigne par a,, et p^

leurs points de contact avec T, la longueur olq^q a, en grandeur cl

en signe, une valeur constante.

•4. Celle valeur constante de la distance des points de contact a^ et ^0 varie suivant les couples de tangentes conjuguées que Ton considère. A chaque couple de langenles conjuguées en correspond toujours un autre, tel que la conslanle dont je viens de parler soit nulle; je dirai que ces deux couples sont conjoints.

Ainsi, étant donnés un hyperc^cle et deux couples conjoints de langenles conjuguées A, A' et B, B', si Ton construit deux cycles K^ et K^ tangents entre eux et louchant respectivement A, A' cl B, B', la tangente commune aux deux cycles est tangente à riiypercvcle.

Autrement, si deux cycles roulent l'un sur l'autre, l'un d'eux louchant deux semi-droites A el A', l'autre touchant deux autres serai-droites B et B', la tan«renle commune aux deux cvcles enveloppe un hypercycle, et tout hypercycle peut être ainsi engendré d'une infinité de manières.

?>. Un hypercycle étant donné, il existe deux systèmes de cycles

SUR LES HYPERCYCLES. 6î3

qui lai sont doublements tangents. Le centre de similitude de deux cycles, pris arbitrairement dans l'un des systèmes, est situé sur une droite fixe OcOq, passant par le point de rencontre O des semidroites fondamentales P et P'; parmi les cycles du système, il y en a un, Û, qui touche ces semi-droites. Dans l'autre système existe également un cycle 0 qui touche P et P'; deux cycles appartenant à ce système ont leur centre de similitude sur une droite fixe OOq* Je désignerai les cycles û et 0 sous le nom de cycles principaux, yet les droites OcOq et 09o sous le nom à^axes de Vhypercycle. Les axes et les droites déterminés par les semi-droites fondamentales constituent un faisceau harmonique.

Un cycle inscrit dans P et F a, en commun avec l'hypercycle, deux couples de tangentes conjuguées; ces tangentes forment un quadrilatère dont deux sommets sont situés sur la polaire de O, relativement au cycle considéré. Les quatre autres sommets sont distribués deux à deux sur les axes de la courbe.

Le lieu des centres des cycles doublement tangents qui appartiennent au même système que û est une parabole U^^ et la courbe peut être considérée comme une anticaustique par réfraction de cette parabole, les rayons incidents étant perpendiculaires à la droite Otoo. A l'autre système de cycles doublement tangents correspond une autre parabole île, en sorte que, généralement, Thypercycle peut être considéré de deux façons différentes, comme l'anticaustique d'une parabole.

Dans certains cas particuliers, ces paraboles peuvent se réduire à des droites; dans le cas où l'un des deux axes est rejeté à l'infini^ l'hypercycle est une courbe parallèle à une parabole.

6. L'hypercycle a été précédemment défini par les propriétés suivantes : les tangentes se distribuent par couples, de telle sorte que deux tangentes appartenant à un même couple (tangentes conjuguées) et les deux semi-droites fondamentales forment un système harmonique; les conjuguées harmoniques d'une semidroite fixe D, par rapport aux couples de tangentes conjuguées, enveloppent un cycle K.

Le même hypercycle peut être ainsi défini d'une infinité de façons; on peut, en effet, énoncer la propriété fondamentale suivante :

Étant donnée une semi-droite quelconque A, les conjuguées -^ harmoniques des tangentes à ce cycle, relativement aux cou- — pies de tangentes conjuguées, ençeloppent un cycle II.

Je désignerai ce cycle soas le nom de (^c le polaire de la semi

droite A; les propriétés de ces cycles présentent la plus grande^^» analogie avec les propriétés des pôles des droites dans la théories^ des cooiqaes.

Voici les principales de ces propriétés :

Si une semi-droite A a pour cycle polaire le cycle D, les cycles^ i= polaires de toutes les tangentes à II sont tangents à A.

Le cycle polaire d'une tangente à l'hypercycle touche cett^»». courbe au point de contact de la tangente.

En désignant par II et II' les cycles polaires de deux semi— droites A et A', on voit que les cycles polaires des tangentes com — munes à II et II' touchent A et A'. Il en résulte qu^il y a deu:=^ cycles polaires qui touchent deux semi-droites données (ou qik. i touchent une semi-droite en un point donné); en particulier, il j^' a deux cycles polaires ayant un centre donné.

Si les deux semi-droites A et A' sont opposées, les tangentes communes à II et II' ont pour cycles polaires deux points; il y a donc une infinité de semi-droites dont les cycles polaires se réduisent à des points. Le lieu de ces points est une conique H, ayant |)Our asymptotes les semi-droites fondamentales, et Tenveloppe des semi-droites correspondantes est un cycle &,

Si une semi-droite se déplace parallèlement à elle-même, les cycles polaires demeurent tangents à deux semi-droites parallèles aux semi-droites fondamentales P et P'; le point de rencontre de ces semi-droites est situé sur la conique H.

Réciproquement, si par un point quelconque de H on mène deux parallèles à P et P', tout cycle inscrit dans ces semi-droites est un cycle polaire de l'hypercycle.

7. H ne sera peut-être pas inutile, pour éviter toute difficulté dans l'application des propositions précédentes, de présenter quelques observations sur certaines formes singulières sous lesquelles peut se présenter un cycle.

Un système de semi-droites parallèles détermine un point à Tinfini et sur une droite donnée se trouvent deux points à Tinfini,

srU LES IIYPKRCYnLEf. (lîJ

:;orrcspondant aux deux semi-droites déterminées par la droite, ^u point de vue oii nous sommes placés, nous devons donc considérer les points à Tinfini comme situés sur une conique aplatie, Dt se réduisant à la portion de la droite de l'infini comprise entre les deux ombilics du plan. A tout point de la conique de l* infini correspond ainsi un système de semi-droites parallèles.

L'ensemble de deux points a et ^ de la conique de l'infini (défini parles parallèles à deux semi-droites fixes A et B) doit être considéré comme un cycle. Les tangentes à ce cycle, menées par un point M du plan, sont les semi-droites tracées par ce point parallèlement à A et B. Le centre de ce cycle est le point situé à l'infini sur la bissectrice des deux semi-droites A et B, et j'entends par là la droite qui est le lieu des centres des cycles tangents à A et à B.

En s'appuyant sur les définitions précédentes, on peut dire que le cycle polaire d'une semi-droite parallèle à P se compose de deux points de la conique de l'infini, l'un de ces points étant situé sur la semi-droite P'. Semblablement, le cycle polaire d'une semidroite parallèle à P' se compose de deux points à l'infini, dont l'un est situé sur P.

8. Étant donnés deux cycles A et A', désignons par a et a' les points où ils touchent une des tangentes communes, par b ci b leurs points de contact avec l'autre tangente commune, par a et ^ les points milieux des segments aa' et bb' . Je dirai que le cycle R qui touche les tangentes communes aux points a et ^ est le cycle moyen des cycles donnés et que A' est le symétrique du cycle A relativement au cycle K.

Cette notion a de fréquentes applications. Étant donnés deux couples de semi-droites (A, A') et (B, B'), proposons-nous, par exemple, de déterminer les deux semi-droites qui forment un système harmonique avec A et A', ainsi qu'avec B et B'. A cet effet, construisons le cycle moyen des cycles inscrits respectivement dans les semi-droites A, A', B et A, A', B', puis le cycle moyen des cjxles inscrits respectivement dans les scmi-(h*oites B, B', A et B, B', A'; cela posé, les tangentes communes aux deux cycles moyens dont je viens de parler sont les semi-droites cherchées.