Un liypercycle est complètement déterminé quand on se
(ii(i (iKoMKTIUK.
donne deux couples de tangentes conjuguées (A, A') el(B, B')el une tangente quelconque T. Si Ton détermine d^abord, comme je viens de le dire, les deux semi-droites qui forment avec (A., A') et (B, B') des systèmes harmoniques, on aura les serai -droites fondamentales de la courbe. Que Ton construise ensuite la conjuguée harmonique Aq de T relativement à (A, A'), puis sa conjuguée harmonique Bq relativement à (B, B'), le cvcle polaire de T sera déterminé, puisqu'il doit toucher T, Aq et B^.
L'hypercjcle est donc bien défini, puisque Ton connaît ses deoi semi-droites fondamentales et le cycle polaire d'une semi-droile du plan, et Ton peut en construire autant de tangentes qa*onle veut.
10. Soit (A, A') un couple de tangentes conjuguées de Thypcrcycle; leurs cycles polaires ont en commun deux tangentes communes B et B'. Ces semi-droites constituent un couple de tangentes conjuguées de la courbe; leurs cycles polaires sont tangents à A et A'.
Les deux couples de tangenles conjuguées (A, A) et (B, B') sont conjoints; en d'autres termes, si deux cycles respectivement inscrits dans les semi-droites A, A' et B, B' roulent runsurTaulrc en demeurant constamment tangents, la tangente commune enveloppe rhypercycle défini par les couples conjoints de tangentes.
11. Si une semi-droite roule sur un cvcle K, le lieu du centre de son cycle polaire est une conique. Si Ton considère les cycles polaires de deux tangentes quelconques ù ce cycle, leur centre de similitude est situé sur une droite fixe D. Il en résulte que l'enveloppe des cycles est un anticaustique par réfraction de conique, les rayons incidents étant perpendiculaires à la droite D.
Eu particulier, les cycles polaires de toutes les semi-droites qui passent pur un point P ont leur centre sur une droite A. A chaque point P du plan correspond ainsi une droite A; si plusieurs points sont sur la droite A, les droites A correspondantes passent par un point fixe (^ auquel correspond la droite A. Le système des points V et des droites A constitue donc deux systèmes corrélatifs.
12. Soient K un cycle ([iielconqiie inscrit dans les deux scini-
sriJ I.KS IIYrKnCYCLKS. ir2'
droites fondamenlales, û et 0 les cycles principaux de la courbe, Ùk et 0* les symétriques de K. relalivemenl à û et 0; ces cycles sont aussi évidemment inscrits dans les deux semi-droites fondamentales. En désignant par o)| et 0| les points où Û et 0 touchent respectivement A, la longueur tOiOi est parfaitement déterminée en grandeur et en signe; j'appellerai cette longueur p \e paramètre de la courbe; il est clair que la distance entre les points oti ûj^ et 0A touchent A est égale à -ip.
Cela posé, si une semi-droite roule sur K, son cycle polaire demeure constamment tangent à Û^^ et 0^. Si Ton désigne par (o et G)' les tangentes à la courhe menées aux points où elle touche û et si l'on se donne la semi-droite D, son cycle polaire sera entièrement déterminé, puisqu'il louche Hk au point de contact de ce cvcle avec la conjuguée harmonique de D relativement aux semidroites co et cii*.
On peut ainsi déterminer aisément le cycle polaire d'une semidroite donnée. Réciproquement, un cycle élant donné, il est facile de reconnaître si c'est un cjcie polaire et, dans ce ca?, de construire la semi-droite correspondante.
Que Ton mène à ce cycle les tangentes parallèh'S aux semidroites fondamentales, le cycle, d'après une proposition énoncée plus haut, sera un cycle polaire si le point d'e rencontre de ces tangentes est sur la conique H lieu des cycles polaires qui se réduisent à des points.
Autrement : que l'on mène les deux cycles D^) et D^ qui louchent K et les semi-droites fondamenlales; si la longueur comprise sur A entre les points de conlact de ces cycles est égale à 2/?, le cycle est un cycle polaire. Les symétriques de D^^ et Dg pris respectivement par rapport à 11 et 0 se confondent alors en un même cycle; et, D' désignant la tangente commune à D(,> et H eu leur point de contact, la conjuguée harmonique de D' relativement ù co et à ci>' a précisément K pour cycle polaire.
Il résulte de ce qui précède que, si deux cycles D(o et Dq inscrits dans les deux semi-droites fondamentales sont tels que la distance entre leurs points de contact avec A soit égale à 2/7, tout cycle tangent à Do, et D^ est un cycle polaire. Les deux points de rencontre de ces cycles sont donc des cycles polaires qui se réduisent à des points, et sont par suite situés sur la conique H.
iVjii< GKUMKTUIK.
Les propriétés précédeoles conduisent à un assez grand nombre de propriétés des coniques, parmi lesquelles j'énoncerai seulement la suivante :
Etant donnée une conique, attribuons un sens quelconque à ses deux asymptotes A et A'. Par un point M quelconque de la conique, menons deux parallèles Q et Q' aux semi-droites A et A'; par un autre point N pris arbitrairement sur la conique, menons les deux cycles R et II' qui sont tangents à A et A'. Cela posé, les deux semi-droites Q et Q' et les cycles R et R' sont tangents à un même cycle K; Taxe radical de R et de R' est la droite qui joint les points de contact de K avec les semi-droites Q et Q'; la tangente à la conique au point M et les tangentes menées à R aux points où ce cycle touche R et R' concourent en un même point.
13. Soient D une semi-droite quelconque du plan et K son cycle polaire; menons à ce cycle la tangente D' qui est parallèle à D. 1^ semi-droite, menée parallèlement à D et D' et qui en est* é<;alenicnt distante, est la tangente à rhvpocycle qui est parallèle
1 1. Une des propriétés les plus utiles de l'hypercycle est la suivante :
Considérons les quatre tangentes communes A, B, C et D qui touchent h la fois la courbe et un cvcle donné, et soient C et !> 1rs tangentes conjuguées de deux quelconques d'entre elles. Cet D: les quatre semi-droites A, B, C et D' sont également tangentes à un même cvcle.
Soient A et B deux tangentes fixes de la courbe; inscrivons un cycle quelconque K. dans ces semi-droites et soient C et D les deux autres tangentes communes au cycle et à Thypercycle. Il résulte de la proposition précédente qu'en désignant par C et D' les conjuguées (le C et D, C et D' sont tangentes à un cycle K' inscrit dans A et B. Le cvcle moven Kn des deux cycles K et K' est fixe, (|iirl que soit le cycle K que Ton considère, et il est complètement déterminé quand on se donne les deux tangentes A et B; c'est le ryrie inscrit dans A ei B et qui touche deux tangentes conjuguées /dans le cas où A et B sont elles-mêmes conjuguées, c'est le rvcle qui louche ces tangentes et les semi-droites fondamentales); si les
SrR LE» HYPERCYCLKS. Gyr»
deux tangentes A et B viennent se confondre, le cjcic moyen K© correspondant est le cycle polaire de la tangente.
Il résulte de là que la courbe est entièrement définie quand on se donne deux tangentes quelconques A et B, le cycle moyen correspondant Ko et les deux semi-droites fondamentales. Il est facile en effet de construire les tangentes communes à rhypercycle et à un cycle quelconque K inscrit dans A et B; que Ton construise le cycle K' symétrique du cycle K relativement au cycle Kq. L^cnveloppe des conjuguées harmoniques des tangentes à K' relativement aux semi-droites fondamentales est un cycle K" et les deux tangentes communes à K et à K'^ seront les droites cherchées.
De là résulte en particulier un moyen facile de construire le cercle osculateur en un point a de la courbe. A désignant la tangente en ce point, construisons la tangente conjuguée A', puis le centre G du cercle qui touche A' et la courbe au point a; cela posé, a désignant le centre du cycle polaire de la tangente A, le centre du cercle osculateur cherché est le symétrique du point G relativement à a. Un hypercycle a un seul foyer F qui est un foyer singulier; la somme des dislances du foyer à deux tangentes conjuguées quelconques est constante.
15. Le cas particulier où les semi-droites A et B sont opposées mérite un examen spécial. L'hypercycle peut être défini comme une courbe de quatrième classe et du sixième ordre ayant trois tangentes doubles dont Tune est la droite de Tinfini et passant par les ombilics du plan. I^s tangentes doubles sont des tangcnles doubles apparentes ; car, aux points de contact, la courbe a des directions opposées; en réalité, on doit les considérer comme des tangentes distinctes, mais opposées.
Les quatre points doubles de la courbe déterminent trois couples de droites correspondant respecti veinent aux tangentes doubles; les deux droites dont Tensemble correspond à la droite de Tinfini sont les axes de la courbe et se croisent au point O, cpii est Tintersection des semi-droites fondamentales, lesquelles passent d'ailleurs par les points d<: contact de la droite de Finfini avec Thypercvcle.
Soient A et B les deux autres tangentes doubles de la courbe et K leur point de rencontre; la droite menée par le point O prr-
63n UKUMKTniE.
pendiciilairemcnt à la bissectrice des semi-droiles fondamenlales
(j^enlends par là le lieu des centres des cycles inscrits dans ces
deux semi-droites) rencontre respectivement A et B en deux
points a et b dont le milieu est précisément le point O. Désignons ^ ^^
par a et P les milieux des segments Ra et R6, nous pourrons ^ ms
énoncer la propriété suivante : Si une tangente à la courbe coupe A
et B aux points ai et ^i et si nous déterminons les points a^ et ^3
qui sont respectivement les symétriques de ai et ^1 relativement^ «^sit
à a et ^, la semi-droite as ^2 est tangente ù la courbe et est la con «^
juguée de la tangente ai ^i.
La tangente double A rencontre la courbe en deux poinlsr ^m is distincts des points de contact; ces points sont équidistants diL.^ fd point a et les tangentes sont conjuguées. Une propriété analogue «te a lieu relativement à la tangente double B.
La courbe est entièrement déterminée quand on se donne 1^ 5 deux semi-droites fondamentales, une des tangentes doubles A ^ t le point a; on peut énoncer en elFet la proposition suivante :
Inscrivons dans les deux semi-droites fondamentales un cycl « quelconque K; désignons par a' le point où la corde de contact € coupe la tangente double A, para le point symétrique du point ct^ relativement au pointa. Cela posé, les tangentes menées du points à la courbe sont parallèles aux tangentes que Ton mène du point 2 au cvcle K.
(blette construction permet de dét«Tmincr facilement les tangentes parallèles a une direction donnée ou émanant d'un point (|uclconque de la tangente double, et par suite tous les éléments importants de la cotirbe.
10. Avant d'exposer de nouvelles propriétés de riiypercvcle, je rappellerai d'abord quelques notions fondamentales relativement à la transformation par semi-droites réciproques.
C4ette transformation est complètement définie par les propriétés suivantes :
Deux semi-droites réciproques se coupent sur une droite fixe A qut» \\m peut appeler axe de transformation ; deux couples queb*(>n(|ues de senîi-droites réciproques sont tangents à un même o\iU'.
J\ijiMil»Mai <|ur deux coiqilcs de semi-droites liarmni]i(|iics ont
BVR LES IIYl'KnCYCLKS. 63 1
pour réciproques deux couples de semi-droiles harmoniques et que la dislance tangentielle de deux cycles esl égale à la distance langentielle des cycles réciproques; j^entends ici par distance tangentielle de deux cycles la longueur comprise sur Tune quelconque des deux tangentes communes entre leurs points de contact.
Cela posé, il résulte de la définition même des hypercycles que ces courbes ont pour transformées par semi-droites réciproques d^autres hypercycles; les semi-droites fondamentales de la transformée étant les transformées des semi-droites fondamentales de la courbe donnée.
Aux tangentes conjuguées de cette courbe correspondent les tangentes conjuguées de la transformée, etc. Je ferai remarquer à ce sujet qu'une tangente double de la proposée étant une tangente double apparente a pour transformées deux tangentes ordinaires de la transformée.
Considérons un cycle quelconque tv inscrit dans les deux semidroiles fondamentales; il a en commun avec la courbe quatre tangentes qui se coupent deux à deux sur l'un des axes 0(0o. EflTecluons une transformation par semi-droites réciproques, de telle sorte que ce cycle se transforme en un point : les quatre tangentes auront pour transformées deux couples de semi-droites opposées; de telle sorte que, relativement à la courbe transformée, deux couples de tangentes conjuguées se composeront de semidroites opposées.
Si Ton coupe ces tangentes par une tangente quelconque rcn* contrant ces deux couples aux points a, a' et p, j5', on a, d'après une propriété générale énoncée plus haut,
aa -i- a'a -f- ^3 H- 63'— a^ — *?'= coiisl.
Or, dans ce cas particulier, les points a et |3 se confondent, ainsi que les points a' et j3'; %a est opposée à 6(3 et a'a à 6^'; on a donc a3 = a'P'=o, b^=z7.a et 6^'= a'a, cl par suite
art H- a'ût = const.;
d'où il suit que la courbe transformée esl une parabole.
Ainsi (si Ton admet des transformations iniajçinaircs), loul
()3a OKOMKTRIE.
liypercycle, sauf un cas parlictilier que j^eiaminerai plus loin, est la transformée par semi-droiles réciproques d^une parabole.
17. Ijà transformalion peut se faire de deux façons différenles, correspondant aux deux axes de la courbe. Les paraboles résalUol de la transformation ont même paramètre; sa valeur est égale au paramètre/; de l'iiypercjcle.
La proposition précédente est au fond identique avec une de celles que j^ai énoncées plus haut, à savoir que Thypercycle peut être considéré comme une anticaustique par ré/rœlion d^une parabole, les rayons incidents étant perpendiculaires à Tun des axes (*); mais la forme actuelle a Tavantage de montrer immédiatement comment on peut étendre à Tliypercycle les propriétés connues de la parabole.
La parabole elle-même peut être considérée comme un liypercvcle composé de deux branches 0[)posées, en sorte qu'en chaque point delà parabole passent deux tangentes distinctes, et la théorie que j'ai exposée précédemment fournit un grand nombre de propriétés nouvelles de cette conique.
Le cycle polaire d'une semi-droite du plan A, relativement à une parabole P, peut se construire facilement. Du pôle  de A, relativement à P, abaissons une perpendiculaire sur A et prenons son point de rencontre B avec Taxe de la courbe ; le cycle cherché D a ÂB pour diamètre et son sens est entièrement déterminé par cette remarque qu^au point A la langenle est parallèle à A. On voit par cette construction que deux semi-droites opposées ont des cycles polaires opposés.
Les semi-droites fondamentales sont opposées et déterminées par la position de l'axe; deux tangentes conjuguées sont donc symétriques par rapport à Taxe.
18. Il y a un cas particulier remarquable, dans lequel il est évideinrnenl impossible de transformer un hypercycle en une parabole; c'est celui où son paramètre p est nul. La courbe est alors de la troisitine classe et je la désignerai sous le nom (ï hypercycle
( ' ) Voir d ce sujet ma Noie Sur la transformation par directions rcciprogucs {(.omptcs rendus, t. \(UI, p. 71^.
RVn LKS IlYfKnCYCLKS. G33
cubique; elle peul être défiole comme une courbe de troisième classe ajant une tangente double, louchant la droite de i^'nfini et passant par les ombilics du plan.
Sa propriété caractéristique consiste en ce que tous les cycles polaires touchent une des demi-droiles fondamentales P; celle-ci est elle-même tangente à la courbe, et je rappellerai tangente fondamentale. L'autre semi-droite fondamentale est parallèle et de sens contraire à la tangente 8 à la courbe qui passe parle point de contact de celle-ci avec la droite de l'infini.
Un hjrpercycle étant défini par ses semi-droites fondamentales, «ne semi-droite A et sou cycle polaire, cet hypercycle est de troisième classe si ce cycle polaire touche une des semi-droites fondamentales et tous les autres cycles polaires touchent également cette semi-droite.
Un hypercycle cubique étant donné, ses semi-droites fondamentales ne sont pas déterminées. Prenons arbitrairement une tangente A à cette courbe, nous pourrons la regarder comme une tangente fondamentale et lui adjoindre une semi-droite A' antiparallèle à 0, de telle sorte qu'à chaque tangente ï de la courbe en corresponde une autre T' constituant avec celle-ci et le couple (A, A') un système harmonique.
Tous les théorèmes généraux donnés précédemment relativement à rhypercycle général s'appliquent à l'hypercycle cubique, mais l'application peut en être faite d'une infinité de manières, puisqu'il y a une infinité de modes de groupement des tangentes.
L'hypercycle cubique se relie encore à la parabole d'une façon étroite; c'est, en efiet, une 2Lnùc^us\\(\\ie par réflexion de parabole, les rayons incidents étant parallèles, et elle peut être d'une infinité de façons considérée comme une anticaustique d'une pareille courbe.
19. Les propositions relatives aux tangentes communes à un cycle et un hypercycle sont notablement modifiées quand la courbe est de la troisième classe, puisque dans ce cas il n'y a plus que trois tangentes communes.
J'énoncerai ici le théorème important qui suit : T et T' désignant deux tangentes quelconques conjuguées dans un mode de groupement caractérisé par la tangente fondamentale Do, A et B
r>3| OKOMÉTIIIF.
deux autres tangenles quelconques, construisons les cycles K el K' qui touchent respectivement A, B, T et A, B, T'; cela poséje cycle (*) moyen de K et K' est tangent à D.
Considérons en particulier le mode de groupement où les Ungentcs isotropes issues du* foyer F de la courbe sont conjuguées et appelons A la tangente fondamentale correspondante (celte tangente est celle que Ton peut mener du pied de la perpendiculaire abaissée du fover sur la tangente double); nous pourrons énoncer la proposition qui suit et qui donne une propriété de rfewJ ffl/igentes quelconques :
Etant données deux tangentes quelconques A et M àVkypercyclCy soient m le centre du cycle tangent aux semi-droites A, A' et 1^ et OL le point de rencontre de A et \'; la droite menée par m perpendiculairement à moL passe par le foyer? de la courbe.
En voici quelques conséquences : imaginons que, A restant fixe, A' se déplace tangentiellcmcnt à la courbe; en désignant par a le point de rencontre de A et de A, le point m décrit la bissectrice am des deux semi-droites A et A (droite qui, comme jet w déjà rappelé plusieurs fois, est entièrement déterminée), cl la bissectrice moL des deux tangentes A et A' enveloppe une parabole P ayant F pour foyer.
Or de là résulte immédiatement que l'hypercycle peut êlrc considéré comme l'enveloppe des cycles qui touchent A et ont leur centre sur la parabole P; en d'autres termes, l'hyperbole esl une anticauslique par réflexion de la parabole P, les rayons incidents étant perpendiculaires à la tangente A.
La courbe peut donc être considérée d'une infinité de manières comme anticauslique de parabole; toutes les paraboles ont pour foyer F, el les tangentes menées aux sommets sont tangentes à Tcnvcloppc des bissectrices telles que ma; c'est précisément celle
(') Je rappelle que le cycle moyen de deux cycles ayant respectivement pour
centre les points a el 6, prmr rayon W et H', c^l le cycle ayant pour centre If
.,. , , H H' point niilicn «lu scfinn'ni af> et \univ ra\<ni •
Sl'R LKS IIYPKHCYCLKS. fiîj
des paraboles considérées qui correspond a une dîreclion des rayons lumineux perpendiculaires à A.
Celle parabole tz a pour langente au sommet la normale menée à la courbe au point où elle touche A; elle peut être également considérée comme le lieu des projections du foyer F sur les normales à rhypercycle.
20. Je mentionnerai enfin un élégant théorème de Géomélrie élémentaire qui résulte immédiatement de la proposition précédente :
Étant données quatre semi-droites quelconques A, B, Gw A, désignons par a^ b^ c les sommets du triangle déterminé par les côtés A, B, G {a étant Tinlersection de B et de G, etc.), et par a, ^, Y les centres des cycles inscrits dans les triangles déterminés par les côtés B, C et A, G, A e^ A, A, B e^ A; cela posé, les droites menées par les points a, ^ et y, et respectivement perpendiculaires aux droites cLa, ^b et vc, se coupent en un même point.
Ge point est, en effet, le foyer de l'hypercycle cubique déterminé par les cinq conditions suivantes, à savoir quMl touche les semi-droites A, B, G, et que A soit la tangente fondamentale correspondant aux tangentes issues du foyer.
SLR LKS
