LES RAYONS INCIDENTS ÉTANT PARALLÉXES

Xouvelles Annales de Mathématiques ; i883.

I. J'appelle bissectrice de deux seml-droîles données la droite parfaitement déterminée qui est le lieu des cycles tangents h ces demi-droites; la droite menée par leur point de rencontre et perpend,iculairement à la bissectrice sera désignée sous le nom de bissectrice impropre.

Deux semi-droites sont symétriques par rapport à leur bissectrice impropre; je dirai qu'elles sont an t i-sy mé t r iq ues p^r rapport à leur bissectrice.

Ces définitions étant posées, je m'appuierai sur les lemmes suivants :

Lemme 1. — Quatre semi-droites étant données^ si i\»n considère trois à trois ces semi-droites, on obtient quatre triangles: les centres des cycles inscrits dans ces triangles sont sur un même cercle.

(Considérons en effet (/ig- i) les quatre semi-droites AB, BK, EA et CP\ Les bissectrices des côtes du triangle ABC le coupent au point 3, celle du triangle BCD au point a, celles du triangle 1£DF au point ,3 et celles du triangle CFA au point y. Pour établir que ces quatre points sont sur une même circonférence, il suffît d'élablir (|uc Tangle aoji est égal à l'angle ayjî.

HUR LE» ANTICAUSTIQUF.S PAR RKFLEXIOX DK LA PARABOLE.

On a évidemment

a8X=BÉô'

EBô

= iéEA

lEBA- JBAH;

d*aulreparl, on a

aY? ='FCy

CFy =

} FCA

IGFA

= itÏAÎÎ.

La proposition est donc démontrée.

Fig. I.

2. Sur la circonférence av^o, considérons le point M diamétralement opposé au point 8, on voit que les droites Ma, M^ et M y sont respectivement perpendiculaires aux droites Ba, E^ et Ay. Or a est le centre du cycle qui touche les semi-droites AB, BE et CF, p le centre du cycle qui touche les semi-droites BE, AE et CF, et y le centre du cycle qui touche les semi-droites AE, AB et CF. On peut donc énoncer la proposition suivante:

Lemme II. — Etant données quatre semi-droites D, D', IT et A, soient a, a', (i" les centres des cycles inscrits respectivement dans les triangles déterminés par les semi-droites (D', D", A), (D% D, A) et (D, D', A); désignons par p le point de rencontre de D' et D", par ^' le point de rencontre de D" et de D et enfin par ^' le point de rencontre de D et D'.

Cela posé, les droites menées par les points a, a', a" et perpendiculaires respectivement aux droites a^, a'^', a''^" con^ courent en un même point.

3. Considérons maintenant deux semi-droites fixes A et A et une semi-droite mobile B assujettie à la condition suivante, ù sa-

voir que, p désignant le point de rencontre de A et de A, q le centre du cj'cle inscrit dans le triangle formé par les semi-droites A, A et A, la droite menée par q perpendiculairement à />çr passe par un point fixe F.

La semi-droite B enveloppera dans son mouvement une courbe parfaitement déterminée; elle est de l'espèce de celles que j'ai appelées hypercycles et de la troisième classe; c'est donc un hypercycle cubique. Dans tout le cours de celle Note, quand il n'y aura aucune confusion à craindre, je la désignerai simplement sous le nom A'hypercycle; comme je le montrerai plus lard, le point fixe F est le fojer de cette courbe (•).

4. Un hjpercycle étant ainsi défini par les deux semi-droites A et A, considérons une autre tangente quelconque à la courbe C; en désignant par /• le point de rencontre de A et de C, par s le centre du cj'cle tangent aux semi-droites A, C et A, il suit de la définition de la courbe que la droite menée par 5 perpendiculairement à rs passe par le ioyev de la courbe. Soient maintenant a le point de rencontre des tangentes C et B, ^ le centre du cycle langent à B, Cet A, il résulte du lemme II que la droite menée par^â perpendiculairement à ^a passe également par le foyer F.

Nous pouvons donc énoncer cette propriété fondamentale.

Thkohème I. — Etant données deux tangentes quelconques de r/iypercyclcy considérons le centre du cycle qui touclie ces deux tangentes et la semi-droite A; les droites, qui joignent ce centre au foyer de la courbe et au point de rencontre des tangentes, sont perpendiculaires entre elles,

5. Considérons une tangente A (Jlg. a) à un livpercvcle il et a le point où elle touche la courbe; la tangente Infiniment voisine A' passe par le point A et la bissectrice de deux semi-droites A et A' est la normale menée au point a: soit a le point où cette normale rencontre la bissectrice des semi-droites V et A; d'après le tliéo-

(') l'oir il ce sujet ma iNolc Sur les hyjwrcycles {Comptes rendus des séances lie IWendemie des Sciences, séanec»* «les '>o iii;»rs. 3, lu et >i ;ivril i8>^»j.

rème préfu'dcnt, la droile Fa est perpendiculaire ù la normale et, par suite, parallèle à A. D'où la proposition suivante :

Étant donnée une tangente A à t'hypercycle H, que par le foyer F de la courbe on mène une parallèle à A, et que l'on

prenne son point de rencontre a avec la bisseclricc des semidroites A et &; que du point a on abaisse ensuite une perpendiculaire de la tangente A, le pied a de cette perpendiculnini est le point de contact de A avec la courbe.

6. La semi-<iroite A est tangente à la courbe. Supposons en effet {fig- a) l'hjpercvcle défini par la semi-droite ù, et une tangente quelconque A. Soit oiu' la Itissectricc des demi-droites A et A; abais:ionx du point F une perpendiculaire Vp sur uu', puis, du point/), une perpendiculaire /po sur A. Si nous imaginons une semi-droite A' infiniment voisine de A et passant par le point d, la bissectrice de A et de A est la droite uu', le centre du cycle tangent à A, A et A' est évidemment le point/) et, comme/* F est perpendiculaire à pui, il résulte du tliéorème 1 que A' (et par suite A) est tangente à l'Iiypercycle ; son point de contact est te point A.

Je dirai que A est la tangente principale de la courbe.

Dans la démonstration précédente, A est une tangente quelconque de riivperrjcie: lorsque cette langi-nte \inie, on voit que

<»'|0 GKOMÉTRIE.

In bisscclricc (oo/ enveloppe une parabole II ayant F pour fojer, et/70 pour tangente au sommet : cela résulte immédîalemenide ce f|ue l'angle Fpio est un angle droit.

Il est aisé de voir que la droite oxo' touche la parabole II aa point a; de ce point, comme cenlre, décrivons un cycle touchant à la fois A et A; son enveloppe, lorsque A se déplace langenliellcment à l'hypercycle, etque le point a décrira la parabole H, secorapose de la semi-droite A et de l'hypercvcle H : on peut donc dire que le lieu des centres des cycles, qui louchent VhypercycUet la tangente fondamentale A, est la parabole II.

En d'autres termes :

Uhypercycle H est une anticaustique ( • ) par réflexion de In parabole FI, les rayons incidents étant perpendiculaires à raie de cette parabole.

Remarque, — On voit que la parabole II est le lieu des points a; il en résulte que la parabole II est le lieu des projections du foyer F sur les normales à Vhypercycle.

7. Tangentes que Von peut mener à la courbe par un point situé sur une tangente donnée.

Soient un hypercycle H défini par son foyer F, sa tangente principale A et une tangente quelconque A; soit, de plus, oxo' la bissectrice des semi-droites A et A. Étant pris sur A un point quelconque M, si nous imaginons une tangente quelconque menée de ce point à la courbe, il suit du théorème I que, du centre du cycle inscrit dans cette tangente, A et A, on doit voir sous un angle droit le segment MF. Soit MF comme diamètre décrivant un cercle, et soient a, [3 les points où ce cercle coupe la bissectrice (ow'; il fsl clair, d'après ce qui précède, que les tangentes que, du poinlM, on peut mener à la courbe (et qui sont distinctes de A), sont les antisymétriques de A relativement aux droites Ma et M p.

Remarque 7. — 11 résulte de la construction précédente que par chaque point du plan passent trois tangentes à la courbe iTh)'" percjcie est donc une courbe de la troisième classe.

( ') I^ns la suite de celle iNole, chaque fuis que je parlerai d'une anticaustique, sans rien nicalionncr d« plus, jc supposerai cxprcsscnient que les rayons incidents s«>nt parallèles.