SUR LES ANTICAUSTIQUES PAR RÉFLEXION DE LA PARABOLE

Remarque II. — Par le foyer F, menons une droite qui soil parallèle à la bisseclrice coco' el qui rencontre A au point/>; soit^ le point symétrique de p relativement au point co, intersection de A et de A. Si, sur^F comme diamètre, nous décrivons un cercle rencontrant la bissectrice (oo)' aux points a et ^, le centre de ce cercle est évidemment sur cette bissectrice; Tangle ftq^ est par conséquent droit, et les deux tangentes, que du point q on peut mener à Fhjpercjcle (indépendamment de la tangente A), sont des semidroites opposées : cela résulte immédiatement de la construction donnée ci-dessus.

Ces deux tangentes sont distinctes, ainsi que leurs points de contact; la droite qui correspond à ces deux semi-droites opposées est donc une tangente double de la courbe; mais elle doit être considérée comme une tangente double apparente (*).

L'hypercjcle, étant de la troisième classe et ayant une tangente double, est du quatrième degré.

Remarque III. — Supposons que le cercle décrit sur MF comme diamètre soit langent à la bissectrice coco'; les points a el ^ étant confondus, il en est de même des droites Ma et M^;par suite, les tangentes menées du point M à la courbe (et distinctes de A) sont confondues. Le point M est donc situé sur la courbe; d'où la conclusion suivante :

Soit P le pied de la perpendiculaire abaissée du foyer F sur la tangente A; par les deux points F et P on peut mener deux cercles tangents à la bissectrice de A et de la tangente fondamentale y les points où ces cercles coupent A sont les deux points [distincts du point de contact) où cette tangente coupe V hypercycle.

(*) Au point de vue où nous sommes placé ici, une semi-droite est tangente double d'une courbe, si, en deux de ses points, elle a même direction que cette courbe; c'est alors une tangente double effective. Mais, si une droite est telle, qu'en la prenant d'abord dans un sens déterminé elle toucbc la courbe et qu'elle la toucbe encore en la prenant dans le sens inverse, on a une tangente double apparente.

Lorsqu'on effectue une transformation par directions réciproques, une tangente double effective a pour transformée une tangente double effective, tandis qu'uno tangente double apparente (qui résulte de la superposition de deux tangente:» opposées) a pour transformées deux tangentes ordinaires distinctes.