L. — II

64a eÊoHânnE.

t8. Tangente par aUèie à une semî-tùvi^iie donnée. — L'hyperc^icle étant défini comme ixrécédeininesit par saa foyer F, la ta»l^ente fondameatale A «et une tasgente quelconque A, proposov»oons de mener à cette counbe (ime tun^ate ^parallèle à tine fiemî-idfroite doomée D.

Construisons à cet effet la inissecLi^e (D^ A) ( * ) et menons par le foyer F une perpemdiculaii^e à (P., A) ; par le point P^ <o>ù cette peupendiculaire coupe la bissectrice (A, A), menons une parallèle ^^ j^ à'(D, A) reQCOiitiranX.au point « la tangente A. Urésvplte du théorème 1 que l^antisymétrique de A relativement à la droite a^

ume tangente Alla courbe squi eât évidemment parallèle à la semi Jg.

diioLke donnée D,

•On ipeut donc mener une .tangenîtie et une seule, xfod soit |»aral — M :U lèle à la semi-dmoike donnée,; oodrameom (peut mener également ao»> ^c^e tangente parallèle â la semi-droid« oipposée, il en résulte que, pa .^Ksar un point situé à Tinfini, on peut géaéralemenl mener deux tais- .^uh gentes à la courbe. La courbe étant de troisième classe, on vcâ. <^ji qu'elle est nécessairement tangente â la droite de Tinfini*

Deux cas particuliers sont à remarquer : si la droite donnée e^s: -st aiktiparallèle à A, les bissectrices (D, A) sont (A, A) perpendsctm:—!* laires, et le point ^ est répété à Tinfini. La tangente anliparallè?^ le

à A étant rejetée à l'infîni, on voit que le point de contact de Ih ^-

percycle avec la droite de TinGni est sur A; en d^autres termes

La tanf^ente principale est la tangente que Von peut men^t à la courbe par le point où elle touche la droite de C infini.

Considérons, en second lieu, le cas où D est une direction isotrope^ je ferai remarquer à ce sujet (\\xune semi-droite isotrope doit être considérée comme se confondant avec son opposée (^).

Si donc on considère un des ombilics du plan (c'est-à-dire des deux points imaginaires communs à tous les cercles du plan), ou voit que par ce plan on ne peut mener à la courbe qu'une tangente

(*) Ici cl comme dans tout ce qui suit, je désigne, pour abréger, par la noUtiou (I\ Q) la bissectrice de deux semi-droites données P et Q.

(•) Ou voit qu'il n'y a pas b^oin de diâtingaer le sens dans lequel est décrite une droite isotrope; aiusi droite isotrope cl semi-droite isotrope ont cxaciemeni la uiéme signiUcation.

SUR LES ANTICAUSTIQUES PAA RÉFLEXION DE LA PARABOLE. (i^S

distincte de Ja droiie de rinfini : d^oii il résulte que ce point est situé sur la courbe.

L'hjpercjcle est donc une courbe de la troisième clause et du quatrième degré, tangente à la droite de Tinfini et passant par les ombilics. Elle a un seul fojer, qui est un foyer singulier; la construction donnée ci-dessus .T]nonf.r« aisément que ce fojer est le point F (').

Réciproquement, toute courbe de la troisième classe et du qqatrième degré qui touche la droite de Tinfini et passe par les ombilics du plan est un hypercjcle.

9. Voici encore une conséquence de la construction donnée cidessus. Une tangente A étant donnée, cherchons à déterminer la tangente A' parallèle à la direction opposée. La bissectrice (A, A') est une droite parallèle à A, et la perpendiculaire abaissée du fojer F sur cette droite rencontre la bissectrice cocu' au point M (yîg^. 2) : d'où il résulte que A' est l'antisymétrique A par rapport à la droite MN menée par le point M parallèlement à A.

Or l'enveloppe de celte droite est aisée à trouver; l'angle MF a étant droit, le point M décrit la directrice de la parabole II, et Fangle NMF étant également droite MN enveloppe une parabole II', qui a pour foyer F et pour tangente au sommet la directrice MR de la parabole II.

Je ferai remarquer que la droite RS, menée par le point R perpendiculairement à RF, est la tangente double de la courbe.

10. L'hypercycle étant défini comme enveloppe d'une seinidroite mobile est, comme le cycle, une courbe de direction; je veax dire par là qu'en chacun de ses points la tangente est déterminée de position et de direction.

Considérons un cycle C et le cercle K détermiué par ce cycle ; le cercle K. étant de seconde classe et Thypercycle de la troisième, ces deux courbes ont en commun six tangentes dont la direction est déterminée, puisqu'elles touchent l'hypercycle. De ces six

(') Il suffit de remarquer que la bissectrice d'une semi-droite donnée et d'une drotie isotrope est cette droite isotrope elle-même.

•lemi-droiles, Irois seulement sont tangentes a C. les autres e\c\u tangentes au cycle opposé.

Ainsi, un cycle et un 'iypercycle ont trois ianf^enW '^ommunes.

M. P^^ ter minât ion des tamrcntes communes a un cyrte qui louche une tangente à i'/ivpercyclc. - Considérons un cycle ( qui touche une tangente A à riiypercycie ; il a en commun, avec cette courbe, deux tan6:entcs que l'on peut déterminer par la règle e't le compas.

A cet eiTet, A désignant la tangente principale de la courbe F son foyer et coci)' la bissectrice (A, D), appelons O le centre du cycle donné, et qui est ainsi bien défini; sur OF comme diamètre, décrivons un cercle K qui coupe (ixo' aux points y et 8j joignons O a et 08, et soient '/ et r/ les points où ces droites rencontrent 'a tangente A.

Cela posé, on vérifiera facilement qne les tangentes menées de» points a! et 8' au cvcle Q sont les lanîTonles cherchées.

12. Construction du cycle osculateur en un point donné, — Soit {fig- 2) à construire le cycle osculateur au point a où la tangente A touche la courbe. Si le cycle C est osculateur, les points */ et V doivent se confondre avec le point a, et par conséquent les points Y et 8 avec le point a. Le cercle K touche donc la bissectrice iiitJ au point a, et son centre est déterminé, puisqu*il est, en outre, sur la droite élevée par le milieu du segment Fa perpendiculaire à ce segment.

De là la construction simple suivante :

Y pétant la perpendiculaire abaissée du foyer F sur la bissectrice tou}', déterminons le point q symétrique de p par rapport à a et au point y, menons une droite perpendiculaire à iùtii\ le point O où celle droite ^-encontre la normale est le centre du cycle osculateur de la courbe au point a.

13. Lieu des centres des cycles qui touchent lliypercycle et une tangente donnée de cette courbe. — En conservant les mêmes notations que ci-dessus, supposons que le cycle qui a pour centre le point O soit tangent à rhvpcrcycle; les deux points y'

SL'U LLS AMICAUSTIQUES PAK REFLEXION ÛL i.A l'ARABOLI.. 6^ô

et 6' seront alors confondus, ainsî que les points v, o. Le cercle décrit sur OF comme diamètre louche donc tow^; son centre O', élanl également distant du point F et de iùto', décrit une parabole ayant F pour foyer et coiu' comme directrice, et, par suite, le centre O décrit une parabole P ayant F pour foyer et coo)' pour tangente au sommet.

La même proposition peut s^énoncer de la façon suivante :

L'kypercycle est une anticauslique de la parabale P, les rayons incidents étant perpendiculaires à la tangente A.

Un hypercycle peut être ainsi considéré d'une infinité de façons comme une anlicaustique de parabole; toutes les paraboles qui correspondent à ce mode de génération sont homofocales, et leur? tangentes au sommet enveloppent la parabole n.

14. Il résulte également de là le théorème suivant, qui exprime une propriété de six semi-droites quelconques tangentes à un même hypercycle •

Théorème IL — Si six senii^droites A», A2, A3, A,, A 5 et \^ sont tangentes à un même hypercycU , u:s 'Anq bissectrices (A|, A2), (A,, A3), (A,, A4), (A|, A:,) et (Aj. A/> sont tm* gentes à une même parahou .

Le foyer de cette parabole est le foyer de l nyfjercv u

lo. Comme je l'ai dit plus haut, Thypercycle est unecoiaht' a». direction; en d'autres termes, en chaque point de cette eourbt ia tangente est déterminée non seulement en position, maisencort en direction. Il en est de même du cycle; mais une courbe algébrique, prise au hasard, n'est pas une courbe de direction,

Étant donnée une courbe algébrique K de classe n, si, eu la supposant décrite dans un certain sens, on peut la transformer en une courbe de direction K^, il faut que, étant donné un cycle quelconque C, des 2/} tangentes communes à K et à C, n soient seulement des tangentes eOectivesà Ko, lesn autres étant des tangentes apparentes.

De là résulte que Téquation qui détermine les tangentes con munes à K et à C doit, par Textraction d'une simple racine carrée

646 GÉOMÉTAXE.

se ramener à la résolutioo des deux équations da degré a; et, comme (en coordonnées rectangulaires) réqoation tangentielle d'un cercle quelconque est

M»-f- p« = ( flt W -f- ^P -f- Y )*,

il en résulte que Téquation tangentielle la plus générale d^aœ courbe de direction est de la fonne

F et 4> désignant deux fonctions rationnelles de er et de r.

{6. Lorsque l'équation d*une courbe algébrique K du degré n n^cst pas de la forme que je viens d'indiquer (telle est, par exemple, nue conique quelconque différente du cercle), pour la transformer eu une courbe de direction, il faut la considérer comme double, et comme le résultat de la superposition de deux courbes opposées qui sont Tenveloppe d'un cvcle de rayon infiniment petit dont le centre décrit la courbe K.

Une telle courbe doit être considérée comme double; en chacoB de ses points on peat mener deux tangentes qui sanl des semidroites opposées, et, au point de vue où nous sommes placés, die est de la classe 2 /t.

17. Étant données une courbe algébrique quelconque K et noe semi-droite A, considérons les cycles qui, ayant leur centre sur K, soi>l tangents à A; ils enveloppent évidemment une conrbe de direction G qui est une aniicaustique de K, les rayons nrcidents élant perpendiculaires à A.

Ainsi toute anticaastiqne d^une courbe algébrique est une courbe (le direction ; réciproquement, étant donnée une courbe de direction quelconque G, elle est une aniicaustique d^nne infinité de courbes algébriques que Ton déterminera de la façon suivante.

Etant prises arbitrairement une semi-droite A et une tangente quelconque T à la courbe G, que Ton construise la bissectrice (T, A) ; lorsque T se déplace tangentiellement à G, la droite (T, A) enveloppe une courbe algébrique K, qui est le lieu des centresde? cycles qui touchent à la fois A et la courbe G.

Si la courbe G est une coarl>e double, en chaque point M de