SUR LES ANTICAUSTIQUEB FAR RÉFLEXION DE LA PARABOLE
oclte courbe, on peut mener deuit tangentes apposées , et si N dé^ signe le point où. elles rencontrent A, par N passent deux bissectrices rectangulaires entre elles, dont l'enveloppe est la courbe K. Dans ce cas, Tenveloppe des cycles tangents à A et ayant leur ornlre sur K est la courbe double G, chaque point M de G étant le point de contact de deux cycles tangents à A et ayant leur centre sur K; ou, si Ton veut encore, chaque point de G étant situé sur deux ravons réfléchis sur K.
18. On peut encore énoncer les résultats qui précèdent sons la forme suivante : G désignant une courbe algébrique, traçons dans le plan une droite arbitraire D, menons une tangente T à G et construisons les deux bissectrices rectangulaires des droites T etD; cela posé, lorsque T se déplace tangentiellement à la courbe, ces bissectrices enveloppent une autre courbe. Si celte dernière courbe se décompose en deux autres, on peut transformer la courbe G en une courbe de direction en donnant en chacun de ses points une direction à la tangente. On retrouverait ainsi la condition analytique que j'ai donnée plus haut, à savoir que Téquation en coordonnées tangentielles d'une courbe de direction est de la forme F«(«, v) = (u^+ç^)^^{u,v).
Les courbes parallèles à une courbe de direction et Tenveloppe de ses normales sont également des courbes de direction ; il en est de même des caustiques par réflexion des courbes algébriques, les rayons incidents étant parallèles.
19. Conâidérons une courbe de direction G qui est Tenveloppe des cycles dont les centres décrivent la courbe K, tandis qu'ils demeurent tangents à une semi-droite A.
Effectuons une transformation par semi-droites réciproques ; soient Go la transformée de G, et Aq la semi-droite transformée de A. Ge. peut être considéré comme l'enveloppe de cycles tangents à Ao, et dont les centres parcourent une courbe Kq.
Il est aisé d'établir que Ko est une transformée homographique de K, la transformation étant de telle nature que la droite de l'infini se correspond à elle-même.
Prenons en effet pour axe des x l'axe de la transformation, et pour axe des^ une droite perpendiculaire. Soient x, y les caor-
648 OÉOMÉTRIK.
données du centre d'un cycle tangent à A et à G, et r son rayon; soient X, Y les coordonnées du cercle transformé et R son rajon. On aura les formules suivantes (') :
en éliminant R entre les deux dernières relations, il vient
Y __ (g* — i).r ~2gr ~" a* -h I
Si maintenant on remarque que le cercle de rayon r demeure tangent à une semi-droite fixe du plan, on voit que, en grandeur et en signe, r est exprimé par une fonction linéaire de x etdej.
On a donc une relation de la forme
où A, B, C désignent des constantes, et cette formule, jointe i la formule X = j?, démontre la proposition énoncée.
Une transformation homographique, qui conserve la droite de rinfini, transformant une conique en conique et une parabole en parabole, il en résulte qu'une anticaustique de conique se transforme, par une transformation par directions réciproques, en une anticaustique de conique, et qu'un hypercycle (qui est uneanlicaustique de parabole) a pour transformée un autre hypercycle (*).
20. Un hypercycle est déterminé quand on se donne cinq de ses tangentes. — Cinq tangentes A, B, C, D, E étant en effet données, que Ton construise, par exemple, les quatre bissectrices (A, B), (A, C), (A, D), (A, E), et la parabole P tangente à ces quatre droites; il est clair, d'après ce qui précède, que l'hypercycle est l'enveloppe des cycles qui touchent A, et dont le centre décrit P; son foyer est du reste le foyer de P.
La proposition précédente signifie qu'il y existe un seul hyper-
(') Voir le Traité de Géométrie de MM. Rouché et de Combcroussc, 5' édilion, p. '?7o, cl Nouvelles Annales de Mathématiques, 3* série, l. I, p. 55o.
(') Sur ce point et sur d'autres propriétés de Thypercycle, voir ma Note Sur les hypercycleSf insérée dans les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, séances des ao et 27 mars, 3, 10 et 24 avril 1882.
