SUR LES ANTICAUSTIQUES PAR RÉFLEXION DE LA PARABOLE

cjcle louchant cinq semi-droites données^ maïs il y existe seize liypercyeles touchant cinq droites données. Ayant en effet atlri- Lué un sens arbitraire à Tune des droites pour la transformée en semi-droites, on peut attribuera chacune des quatre autres unsen*" arbitraire, ce qui donne lieu à seize combinaisons différentes.

21. Indépendamment de la droite de V infini y deux hypercycles quelconques H et H' ont quatre tangentes communes. — Soient, en effet, Ho la courbe H' considérée indépendamment de son sens; Hq et H, étant toutes les deux de troisième classe, ont neuf tangentes communes. Abstraction faite de la droite de Tinfîni, il en reste huit autres qui sont tangentes soit à H, soit à la courbe H< opposée à H. Deux hypercycles ne peuvent d'ailleurs, d'après le théorème précédent, avoir plus de quatre tangentes communes; des huit tangentes considérées, quatre sont donc tangentes à H et quatre tangentes à H|, ce qui démontre la proposition énoncée.

22. Faisceaux d^ hyper cycles. — Je dirai que l'ensemble des hypercycles qui touchent quatre semi-droites données constitue un faisceau.

Il est clair, d'après ce qui précède, que, parmi les hypercycles d'un faisceau, il n'y en a qu'un qui touche une semi-droite donnée ; on prouvera facilement qu'il y en a quatre qui passent par un point donné.

Le lieu des foyers des hypercycles du faisceau déterminé pai quatre semi-droites données A, B, C, D est le cercle qui contient (lemme I) les centres des cycles inscrits dans les triangles que Ton détermine en considérant trois à trois les semi-droites données.

Considérons en effet les bissectrices (A, B), (A, C) et (A, D); on voit que les foyers des hypercycles du faisceau sont les foyers des paraboles tangentes à ces trois droites ; or, d'après un théorème connu, le lieu de ces foyers est le cercle circonscrit au triangle formé par ces droites, d'où la proposition énoncée.

23. Hypercycles exceptionnels. — Un point d à l'infini étant défini par un système (D) de semi-droites parallèles entre elles, on peut considérer l'ensemble du point d et d'un cycle quel-

conque C comme coosliimnl an kj-percydc. Les Uogenles qne l^cm penl, d*an point qvdcooqse M du pUn^ mener à cet bjpercTcle caLceplioiuiel se compo^eal des langenles menées da point M aa cjcie et de la semi-droite mcace pcr 11 parallèleme»A au s]fslème (D).

Eiant donné an tel hjpercjcie exceptionnel (<f, C), si Ton mène à C ane tangente anliparallèle an sjslème(D) (*), celte tangente est kl tangente priacipale dn cjele cxccplîonnel, et la droite correspondanle en est la tangente donble.

C^est ce que Ton Terra facilement snrla^/^. a, en supposant qae le foyer F se rapproche indé&oâmenL de la bissectrice tutaf et vient se placer snr celle dreiley aoqad cas Fhjrpercjcle se rédnit à un CTcle et à an point i l'infini.

34. Un fiftiscean détenninë par quatre semi-droites A, By C, D renlerme quatre cjcks excepllonnels, à savoir :

Celui qui est déterminé parle cjcIe inscrit dans A, B, C et le point & rinfini sur D, celui qui est déterminé par le cjcIe inscrit dansB, Cf D et le point stué k Tin fini sur A^ celui qui est déterminé par le cycle inscrit dans C, D, A et le point situé à Ilnfini sur R, et enfin celui qui est déterminé par le cycle inscrit dans D, A^ B et le point à rinfini snr C

La considération de ces cycles exceptionnels est d'une grande importance dans la théorie des faisceaux d*bypercycles, sur laquelle j'aurai occasion de revenir.

M) Je rappellerai qae deux semi-droiles sont dîtes antiparcUléles lorsque, les droites qu'elles déterminent étant parallèles, elles sont dirigées en sens inrerse.

Nouvelles Annales de 3fathématiques, f883.

1. Étant donnés dem cycles A ei B, menons-Iear itne t&ngente commune; la dislance comprise entre les points de contact de cette semi-droite est la distance tangentielle des deux cjcies. Elle n'est évidemment déterminée qii^en valeur absolue; dans tout ce qui suit, je la désignerai simplem-eat sous le nom de distance des deux cycles.

On sait que, si Ton effectue une transformation par semi-droites réciproques, la distance de deux cycles est égale à la dislance dei deux cycles correspondants.

2. Étant donnés trois cycles A, B et C, on peut chercher de quelle façon sont distribués dans le plan les cycles équidislants de ces trois cycles. Si nous elTectuons une transformation par semidroites réciproques, de telle sorte que, les cycles a, ^ et y correspondant aux cycles donnés, a et p soient opposés, il suffira évidemment de résoudre le problème proposé relativement à la nouvelle figure.

Il est aisé de voir que les cycles équidistants de deux cycles opposés a et p se réduisent aux points du plan. Désignant, en effet, par R et — R les rayons des cycks opposés, par p le rayon d'un cycle équidistant de a et de p, par d la dîslanec de son centre aru centre commun de a et de p, on a

c?> — (R — p)*== e/«— (R -h p)«, d'où

Rp = o;

et, comme R est supposé difTérent de zéro, il suil nécessairemen'

ce qui démontre la proposition énoncée.

Les cycles équidislants de a, ^ et y devant se rédaire à de? points, on les obtiendra tous eu considérant les di\ ers points de t'axe radical D des cycles a et y; et de là, si l'on revient à la première figure, on voit que les cycles équidistants de Irois cycles donnés A, B, C sont tangents à deux semi-droites fixes A et A' qui sont les transformées des deux semi-droiles opposées déGniespar la droite D. Ces deux scmi-droiles passent d'ailleurs parles points/? et gr, intersections des cycles a et y, lesquels points peuvent élrf considérés comme les cycles tangents à a, ^ et y.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Les cycles équidistants de trois cycles donnés A, B et t touchent deux semi-droites fixes A et A', qui sont les tangentes communes aux deux cycles qui sont tangents à A, B et C.

J'appellerai ces semi -droites les semi-droites radicales de: cycles A, B et C; leur point de ronconlre est évidemment le centre radical des trois cvcler.

3. Proposons-nous de trouver les cycles équidistants de quatre cycles donnés, A, B, C etD. Dans ce but effectuons une transformation par semi-droites réciproques, de telle sorte que a, ji, ytiU correspondent respect! vemenf à A. B. C et E. or et 3 soient des ,*ycies opposa-

Les cvcles cdiiidisliini? de at cl de li ïse réduisant aux points di plan, il est clair qu'il n'y a qu'un seul cycle qui soit équidislan des cycles a, S, y et o : c'est le centre radical des cycles a, y etû. el de là, en revenant à la figure primitive, on peut conclure que :

// nv a dans le plan quun seul cyrle équidistant de qualn cycles donnés A, B. C et h

Je le désignerai sous le nom de cycle radical de:? cycles A. 1» C or J>

\. Le cycle radical de A, L>, L cl 1.) êlaiit eauidistant de A, t

.^( K iJUËLQCJfiS FKOPKIETES 1>£S GlCLEb. ).-)ù

il C louclie les senii-ciroiles radicales de ces trois cvcles ; d'où la oroposilioTî suivante :

Etant donnés quatre cycles, les semi-droites radicales de rois quelconaues de ces cycles touchent leur cycle radical; en

::roup(int de toutes les façons possibles trois à trois tes quatre yctes donnas on a donc auatre systèmes ne deux semi^droites

itil louchent te ( voie raaicat

(In cas particulièrement remarquable est le suivant :

Soient A|, A«, A3 et A, quatre semi-droites données. A, désignant l'une quelconque d'entre elles, appelons K, le cycle qn. louche les trois autres. Nous déterminerons ainsi auatre cvcles Ki , IVî, Ks et K*; soit K leur cycle radical.

Il résulte de ce qui précède que Iv est tangent aux trois semidroites radicales de K<, Kj et K3; or ces cycles touchent tous les • rois la semi-droite \,^ et il est aisé de voir que, quand trois cycles ^ont lançenls à une même semi-droite A, leurs ceux semi-iiroites radicales se confondent entre elles ou. pour parier plus exactement, se composent de deux semi-droites se coupant en leur centre radical et différant infiniment peu de la semi-droite menée en ce point parallèlement à la semi-droite A.

On conclut de là que le cycle K passe par le centre radical de K|, K2 et K 3 et est tangent à la semi-droite menée par ce point parallèlement à A4.

D'où la proposition suivante :

Si Von considère de toutes les façons possibles trois quelconques des cycles K|, K2, Ks et K4 et leur centre radical^ on obtient quatre points qui sont sur un même cycle K et les tangentes menées à ce cycle en ces points sont respectivement parallèles aux semi-droites Aj, A2, A3 et A4.

Ce cycle K est le cycle radical rfe K|, Kg, K3 e^ K».

5. Les quatre cycles K/ qui sont ainsi déterminés par les semidroites A,, A2, A3 et A4 jouissent d'un grand nombre de propriétés remarquables. J'énoncerai ici la suivante :

Sij parallèlement à une semi-droite donnée A, on mène des tangentes à K|, Ko» K3 et K4, le rapport anliarmonique de ces

GS4 aÊQXBTRn.

quati'e semi-^roites est constant quelle que soit la direction del.

Pour démontrer celte propos! tioD, j'énoncerai d'abord lelenme suivant dont Tapplication est fréquente :

Lemme. — Si Von effectue une transformation par semidroites réciproques, à quatre se m i^droites parallèles entre elles correspondent également quatre semi-droites parallèles.

Le rapport anharnionique de celles-ci est égal au rapport anharmonique des quatre premières,

La démonstration de ce lemme résulte iannédiatemeQt de ce4[Qe deax semi-droîtes correspondantes se coupent an néme point de Taxe de transformation.

Cela posé, je remarque que 4'on peut toujours effectaer une transformation par semi -droites réciproques, de telle façoa qoe deux semi-droîtes données aient pour transformées deux semidroites opposées; le théorème que nous voulons démontrer éUot projectif, il suffira donc de le démontrer dans ce cas.

Soient donc {Jig. i) ca, 6c, ah et ba quatre semi-droites

données ('), K le cycle tangent à 6c, ca et a6, K' le cycle tangent

( ' ) Lorsque je désigne une semi-droite par deux lettres, Tordre dans lequel sool placées ces lettres indique le sens de la semi-droite; ainsi PQ désigne une semidroite décrite par un point mobile allant du point P au point Q. Il en résulte que PQ et QP sont deux semi-droites opposées.

SUR QUELQUES FROrBIÉTÉS DES CYCLES. 655

ba^ ca et bc. II est clair que le cycle langent à ca^ ab et ba se réduit au point a et que le cjcle tangent à 6c, ab et ba se réduit au point 6.

Cela posé, menons aux deux cycles K et K' des tangentes parallèles à une semi-droite prise arbitrairement et soient respecti- Tcment k et v! les points où ces tangentes coupent la droite ab. Les points a et et! se correspondent de façon qu'à un poiat a correspond un seul point a' et réciproquement à un point a' correspond un seul point a. En eOct, si Ton se donne par exemple le point a, on ne peut par ce point mener au cycle K qu'une seule tangente distincte de ab] d'autre part, on ne peut mener au cycle K' qu*une seule tangente qui soit parallèle à celle-ci; le point a' où elle coupe ab est donc déterminé.

Il résulte de là que les points a et a' déterminent sur la droite ab deux divisions homographiques dont les points doubles sont évidemment les points a et 6, et par suite, en vertu d'une propriété bien connue, le rapport anharmonique des quatre points a, a', a et b est constant. Il en est évidemment de même du rapport anharmonique des tangentes passant par les points a et a' et des parallèles à ces tangentes menées par les points a et 6. En d^autres termes, le rapport anharmonique des semi-droites, menées parallèlement à la semi-droite prise arbitrairement et tangentielleraent aux cycles K, K', a et 6, est constant; ce qui démontre la proposition énoncée.

6. Étant données deux semi-droites quelconques A et A', circonscrivons à K| un angle dont les côtéd soient parallèles à A et A', et soit P| le sommet de cet angle.

Soient de mémeP2, P3 et P4 les sommets des angles analogues circonscrits aux cycles K2, K3 et K4. Le rapport anharmonique de quatre côtés de ces angles étant égal au rapport anharmonique des quatre autres, il suit de la proposition fondamentale de la théorie des coniques que les quatre points P/ sont sur une conique ayant ses asymptotes parallèles à ùl et à A'.

En particulier, supposons que A et A' soient deux droites isotropes de système diÛTérent; les points P/ sont les centres des cycles K|. On peut donc énoncer la proposition suivante, que j'ai

f).)6 OÉOMÉTRIE.

déjà démontrée directement dans une Note antérieure (*) : Les centres des cycles K/ sont situés sur un même cercle.