J'énoncerai encore la proposition suivante

Étant donnés deux cycles K e/K', si Ton considère quatre

cycles quelconques H«, Ha, H3 et H4 doublement tangents à K

f't à K', et si, à ces quatre cycles, on circonscrit des angles

vant leurs côtés parallèles aux deux tangentes communes àïs.

f a R', les quatre sommets de ces ans^les sont sur une conique

lynnt leurs asymptotes parallèles à ces tangentes communes.

Pour démontrer cette proposition, il suffit de faire voir que le • apport anharmonique des semi-droites, menées tangentiellement Mix cycles Kl parallèlement à Tune des tangentes est égal au rapport anharmonique des semi-droites menées à ces cycles parallèle- •iient à Tautre tangente: et, comme cette propriété est projective. 1 -suffit de la démontrer dans un cas particulier. Or on peut tou- . jours eifectuer une transformation par directions réciproques, de felle sorte que les cycles K et K' soient opposés entre eux; les cycles H/ se réduisent alors à quatre points du cercle Ko déterminé \y.iT K et K'; les deux tangentes communes à K et à K' sont des droites isotropes et Ton sait, par la propriété fondamentale du :ercle, que les droites isotropes d'un système qui passent par ces ]uatre points ont leur rapport anharmonique égal au rapport mharmonique des droites isotropes de l'autre système qui passent j)ar les mêmes points.

La proposition est donc entièrement démontrée.

Une conique dont la direction des asymptotes est donnée étant déterminée par trois de ses points, la proposition précédente peut s'énoncer ainsi qu'il suit :

Si l'on considère tous les cycles II qui touchent deux cycles donnés R et ¥J et si, à chacun des cvcles H, on circonscrit un angle dont les côtés soient parallèles aux tangentes communes

(') Sur les anticaustiques par réflexion de la parabole {Aouvelles Annales), même tome, p. 16.

SUR QUELQUES PROPRléTÉS DES CYCLES. 667

à f^et à K', le lieu du sommet de cet angle est une conique dont les CLsymptotes sont parallèles à ces deux tangentes.

Il est facile de voir que celte conique a effectivement ces deux tangentes pour asymptotes et qu*elle passe par les points dUntersection des cycles K et K'; d^oii encore la proposition suivante :

Étant donnée une conique quelconque, attribuons un sens quelconque aux asymptotes de cette conique de façon à les transformer en deux semi-droites A et A'. Cela posé, considé» rons deux points quelconques M et N de la conique; par le point M, on peut mener deux cycles tangents àÙLCt à àJ\ par N on peut mener deux parallèles à ùl et ùl' : ces deux cycles et ces deux parallèles sont tangents à un même cycle P.

J'ajouterai que la corde qui joint les points de contact de P avec A et A' est Taxe radical des cycles qui, passant par M, touchent ces deux semi-droites.

8. Il est aisé de voir que le théorème précédent peut encore s'énoncer ainsi qu'il suit :

Par deux points donnés y et 8, on peut mener deux cercles K et K! qui touchent un cercle donné C; par les points où la droite yS rencontre C, menons des tangentes à ce cercle, soit i leur point de rencontre. Par les points y, 8 et t, faisons passer une conique ayant ses asymptotes parallèles aux tangentes dont je viens de parler; les asymptotes de cette conique sont deux tangentes communes àl^et à K'.

On peut généraliser ce théorème en faisant une transformation homographique de telle sorte que les ombilics du plan deviennent deux points quelconques a et ^; on obtient alors la proposition suivante :

Etant donnés deux points quelconques ol et ^ sur une CO" nique C, par deux points y et o du plan et les points en et ^ on peut mener deux coniques K et K' qui touchent C;par les points où la droite yo coupe C, menons des tangentes à cette conique et soit e leur point de rencontre; soient de plus X et^a les points où la corde a^ rencontre ces tangentes. Cela posé, si l'on^con- L. — II. 42

siruil la conique déterminée par les cinq points \ u, y, 2 et e, les tangentes menées à cette conique aux points \ et il sont deux tangentes communes à K e/ à K' (•).

9. En parlicalier, supposons qae les points y cl S soient les ombilics du plan; la proposition précédente pourra s^énoncer ainsi qu'il suit :

Étant donnés sur une conique C deux points ol et ^, on peut par ces points mener deux cercles qui touchent C; ces deux cercles ont pour tangentes communes les tangentes menées au cercle qui passe par le centre de la courbe et les points où la droite J^coupe les asymptotes, aux points situés sur la droite a^.

Il est d'ailleurs évident que ces tangentes communes aux deux, cercles se coupent en un de leurs centres de similitude.

10. Proposons-nous maintenant le problème suivant (proposé cette année comme sujet de la composition d'admission à TÉcole Polytechnique) :

Etant donnés deux cercles K et K! se coupant aux points ol et p, construire les diverses coniques qui, passant par a et !3, touchent ces cercles.

Construisons deux tangentes communes à K et à K' passant par un de leurs centres de similitude, puis le cercle H qui touche ces tangentes en leurs points de rencontre avec la droite aj3. En désignant par A et [xces deux points, il est clair, d'après la proposition |)récédente, que si Ton prend un point O quelconque sur le cercle H et si Ton joint OX et 0[jl, la conique qui, passant par les points a et [5, a pour asymptotes OX et 0[jl touche les deux cercles K et K'.

Le lieu des centres des coniques cherchées est donc le cercle H, et Ton voit que l'angle formé parles asymptotes de toutes ces coniques est constant.

(') La délermination des deux autres taDgentes commuoes à K et à K' donne* ruit lieu à des recherches intéressantes.

Un théorème analogue au précédent a lieu à Tégard des coniques qui touchent une conique donnée, deux tangentes à ccitc conique et deux droites données.

SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS DES CYCLES. ôSg

En considérant les deux tangentes communes qui passent par le second centre de similitude, on obtiendrait un autre système de solutions, le lieu des centres de ces coniques étant un second cercle ayant, comme il est facile de le voir, même centre que le premier.

SUR LES

Nouvelles Annales de Mathématiques, i883.

1. Étant donnée une semUdroite quelconque A, sî Ton considère ressemble des semi-droites qui lui sont parallèles, on peut les regarder comme concourant en un même point situé à Tinfini et que je désignerai par A^. Les semi-droites parallèles à la semidroite opposée — A ( * ) peuvent être regardées comme coDcourant en un même point — A^ situé à Tinfini.

Ces deux points doivent être considérés comme distincts, et, si l'on appelle D la droite définie par les semi-droites A et — A, on voit que D renferme deux points situés à l'infini, à savoir A^ et — A^.

!Nous considérerons les points à Tinfini comme situés sur une conique infiniment aplatie et ayant pour sommets les ombilics du plan, et, pour plus de clarté, j'appellerai le point A^ un sentipoint, en sorte que la conique de V infini sera le lieu des semipoints du plan.

Va point de la droite de V infini doit être considéré comme la réunion de deux semi-poinls opposés.

Si Ton imagine un cjcle variable qui touche constamment deux semi-droites opposées A et — A, ce cjcie, lorsque son centre c^l rejeté à l'infini, se réduit aux deux semi-points A^ et — A .

Un semi-point peutêlre considéré comme une courbe de direc-

(») En général, l) déM'gnant une semi-droite quelconque, j^appellerai — D la semi-droite opposée.

lion de la classe un ; il n'y a du reste pas d'autre courbe de direction qui soit de cette classe.

Les courbes de direction delà deuxième classe ne comprennent que les cycles ; je me propose, dans cette Note, d'étudier les courbes de direction de la troisième classe.

2. Soit UL le nombre des tangentes que Ton peut mener à une courbe de direction de la troisième classe et parallèlement à une semi-droite donnée 5 comme on peut lui mener également [jl tangentes parallèles à la semi-droite opposée, il résulte de là que, par un point de la droite de Tinfini, on peut mener à la courbe a y. tangentes distinctes de cette droite. En désignant par p le nombre des points de contact de la droite de l'infini et de la courbe, on a donc

et, comme p ne peut être égal à 3, il en résulte que p = i et[JL== i. Ainsi la courbe considérée touche la droite de l'infini; une semidroite isotrope coïncidant avec son opposée, on voit en outre que les deux tangentes (distinctes de la droite de l'infini) que l'on peut, d'un ombilic du plan, mener à la courbe, sont confondues^ la courbe passe donc par les deux ombilics.

3. Il est clair qu'on ne peut mener à une courbe de direction de la troisième classe qu'une seule tangente T parallèle à une semidroite donnée. Traçons dans le plan un cycle arbitraire K et menons à ce cycle une tangente 6 parallèle à T; je dirai que cette tangente est l'image de T. Si Ton imagine un nombre quelconque de tangentes à la courbe considérée et si l'on mène tangentiellement à K des tangentes parallèles, ces dernières (ou si l'on veut encore leurs points de contact) formeront l'image des tangentes à la courbe. On voit qu'une tangente à la courbe est déterminée quand on se donne son image sur le cycle K.

4. Considérons une courbe de direction de la troisième classe H et une tangente quelconque T à cette courbe. Par chaque point de cette semi-droite, on peut mener à la courbe deux tangentes distinctes de T; soient a A et Aa' les tangentes issues d'un point quelconque A de T. Inscrivons dans ces deux semi-droites un cycle

aéOMÉTRIE.

quelconque K sur lequel nous ferons l'image des tangentes à H. Soîl B un autre point quelconque de T; désignons par B^ et ^'B les tangentes issues de ce point et soient y^ et^fr leurs images sur le cjcie fixe K. 11 est clair que si Ton se donne la semidroite 6y, la tangente B^ est déterminée et, par suite, le point B ainsi que la deuxième tangente B^' et sou image b^. Des deux

Fig. I.

tangentes au cycle K, 6y et 6*^, Tune étant déterminée quand on se donne Tautre, il en résuite qu'elles forment un système en iovolution et que leur point de rencontre b décrit une droite du plan. Cette droite U passe du reste par le point Â, puisque les tangentes Aa et A a' se confondent avec leurs images.

A chaque point B de la droite T correspond un point b de la droite U; les points B et 6 déterminent donc sur ces droites des divisions homographiques et, comme le point A se correspond évidemment à lui-même, on en conclut que la droite B6 passe par un point fixe du plan.

Pour déterminer la position de ce point fixe, je remarquerai que, si le point B s'éloigne à Tinfini sur la tangente T, Tune des tangentes que Ton peut de ce point mener à la courbe est la tangente opposée à T. Si donc nous menons au cycle K la tangente 0 antiparallèle à T, le point b est situé sur cette semi-droite et la droite 6B se confond avec 6 qui, par suite, contient le j)oint fixe cherché.

Soit P ce point fixe; par ce point menons une droite parallèle à U et coupant Tau pointa). Le point to' oùPto rencontre U étant situé à rinfini, les tangentes menées de w' au cycle K sont oppo-

sées et ont pour directions celles déterminées par la droite Po>; il résulte donc de ce qui précède que les tangentes issues de o) sont les deux semi-droites opposées déterminées par la droite Po), qui est ainsi une tangente double apparente de la courbe.

Ainsi la courbe de direction de la troisième classe la plus générale passe par les ombilics du plan, touche la droite de Tinfini et a une tangente double apparente; c'est donc un bypercycle cubique, ou, en d^autres termes, une anticaustique par réflexion de la parabole, les rayons incidents étant parallèles.

5. La proposition que je viens de démontrer peut encore s énoncer de la façon suivante :

Considérons une tangente quelconque T à un hypercjcie cubique H; d'un point A, pris arbitrairement sur cette semi-droite,

Fig. a.

menons les deux tangentes à la courbe Aa et Aa' qui sont distinctes de T, puis inscrivons dans ces semi-droites un cycle quelconque R.

Menons à ce cycle la tangente 6 antiparallète à T et soit F le point où cette tangente rencontre la tangente double PP' de la courbe ; soit de plus AU la droite menée par A parallèlement à P.

Cela posé, si, par le point fixe P^ on mène une sécante arbi^ traire coupant respectivement Tet U aux points B et t, les tan^ gentes que l'on peut mener à l'hyper cycle par le point B sont parallèles aux tangentes menées du point b au cycle K.

6. Par le point P menons au cycle K la tangente PCc qui est distincte de 0; il est clair, d'après la proposition précédente, que

celle semî-droile esl également tangente à Thypercycle, et qu'en faisant varier le cycle K, qui est assujetti à la seule condition de toucher les tangentes Aa et Aa'^ on obtiendra ainsi toutes les tangentes à la courbe.

Remarquons maintenant que le cycle qui touche à la fois les tangentes Aa, Aa', PC est précisément le cycle K, que celui qui touche PC et les deux tangentes opposées PP et PP »e réduit aa point P; enfin que, des deux tangentes communes à ces cycles, Tune est C et Tautre la semi-droite 6 dont la direction reste constante, quelle que soit la tangente PC considérée; nous pourrons alors énoncer la proposition fondamentale suivante :

Théorème I. — Soient A, A' et B, B' deux couples de tangentes à un hypercycle cubique 1\ et 11 une tangente quelconque à cette courbe; construisons les deux cycles qui touchent respectivement A, A' et T, B, B' e/ T; ces deux cycles ont T pour tangente commune, la seconde tangente commune 6 est parallèle à une semi-droite fixe.

Il sufGt, pour démontrer ce théorème, de remarquer qu'une transformation par semi-droites réciproques transforme un hypercycle cubique en une courbe de même espèce et que l'on peut toujours eflecUier la transformation de telle sorte que les tangentes B et B' se transforment en une tangente double apparente de la courbe transformée; auquel cas le ihéorènic résulte immédiatemenl des remarques qui précèdent.

6. Le théorème précédent donne une propriété remarquable de six tangentes quelconques à un hypercycle. En voici d*aulres conséquences :

Étant donnés deux couples de semi-droites fixes A, A' et B, l^ et une direction fixe B^, menons une semi-droite quelconque H parallèle à Bq, puis construisons les cycles qui louchent respeclivement A, A' et B, B, B' et B. Ces cycles, qui louchent B, ont en outre une deuxième tangente commune T; celle langenle, lorsque B se déplace parallèlement à elle-même, enveloppe un hypercycle cubique tangent à A, A', B cl B'.

Si Ton fait varier la direction Bo, on déterminera ainsi lous les

hjpercjcles cubiques qui touchenl les quatre semi-droites A, A', B et B'.

7. Comme application, supposons que les tangentes A et A' soient les tangentes isotropes issues du fojer F de la courbe et que les tangentes B et B' soient les semi-droites opposées définies par la tangente double apparente PQ.

En désignant par Tune tangente quelconque à Thypercjcle, on voit que le cycle, qui touche T et les droites isotropes issues de F,

Fig. 3.

est le cycle K qui a précisément F ponr centre; le cycle qui touche T, B et B' se réduit au point de rencontre a de T et de PQ. La seconde tangente commune à ces deux cycles est la semidroite U qui est Tantisymétrique de T par rapport à la droite olF. On peut donc énoncer la proposition suivante, qu*il serait très facile du reste de démontrer directement :

Un hypercycle ayant pour foyer le point F et pour tangente double la droite PQ, si a désigne le point où une semi-droite quelconque T tangente à la courbe coupe la droite PQ, l'antlsymétrique de T relativement à la droite Fol a une direction constante.

8. Étant données quatre semi-droites quelconques A|, A2, A| et A4, construisons les bissectrices (A i , A2), (Aj , As), (A| , A4) (*); les foyers des paraboles qui touchent ces trois droites sont les foyers

(*) Je rappelle que je désigne par la aotalion (C, D) la bisseclrice de deux semi-droites données C et D, c'est-à-dire la droite parfaitement déterminée qui est le lieu des centres des cycles qui touchent ces semi-droites.

des hjpercjcles cubiques qui louchent les semi-droites données; od sait d'ailleurs, par un théorème connu, que le lieu desfojersde ces paraboles est le cercle circonscrit au triangle déterminé parles trois bissectrices.

Ainsi le lieu des foyers des hypercycles cubiques qui touchent quatre semi-droites données est un cercle K, et, comme il est facile de le voir, ce cercle est celui qui contient les centres des quatre cvcles inscrits dans les triangles que Ton peut former avec les semi-droites données en les prenant trois à trois.

Soient K| , K^ et K3 trois de ces cycles et ai , as, oi% leurs centres; F désignant le foyer de Tun quelconque H des liypercycles qui touchent les semi-droites données A4, A^, A3 et A4, il résulte de ce qui précède que F, ai, 0L2 et as sont situés sur le cercle K.

En d'autres termes, si Ton appelle I et J les deux ombilics du plan, le rapport anharmonique des semi-droites FI, ai 1, asietxsl est égal au rapport anharmonique des semi-droites FJ, «iJ, iiJ et ajj ; ce que Ton peut encore énoncer de la façon suivante :

Si Ton mène à Thypercycle H et aux cycles K|, K, etKjdes tangentes parallèles à une droite isotrope d'un système, puis des tangentes parallèles à une droite isotrope de système différent Jes deux systèmes de semi-droites ainsi obtenues ont même rapport anharmonique.

Remarquons maintenant qu'une transformation par semi-droites réciproques transforme un hypercycle cubique eu une courbe de même espèce, que le rapport anharmonique de quatre semi-droites parallèles se conserve après la transformation et que la transformation peut toujours être choisie de façon que deux semi-droites prises arbitrairement aient pour transformées dès droites isotropes : nous en conclurons immédiatement que la proposition précédente subsiste pour des dire<Ttions quelconques prises dans le plan.

D'où le théorème suivant :

Théorème II. — Soient A|, Aj, Aj et A, quatre semi-droites e^ K,, K2, Kj les cycles inscrits dans les triangles que ConpeiU former en adjoignant successivement à A| deux quelconques des semi-droites A| , Aa e^ A3 ; soit de plus H un hypercycle cubique quelconque qui touche les semi- droites données. Cela

posé y si l'on mène à la courbe et aux trois cycles des tangentes parallèles à une direction quelconque, le rapport anharmonique de ces quatre semi-droites est constant.

On peut encore Tënoncer ainsi qu^il suit :

TBÉORkME III. — Étant donnés trois cycles qui touchent une même semi-droite A, si une semi-droite T se déplace de telle sorte que le rapport anharmonique de cette semi-droite et des tangentes, menées aux trois cycles dans une direction parallèle, ait une valeur constante k, T enveloppe un hypercycle cubique tangent à à et aux trois semi-droites qui touchent à la fois deux des cycles donnés (*).

Remarque, — En faisant varier le nombre k^ on déterminera ainsi tous les hypercjcles qui touchent les quatre semi-droites dont je viens de parler.

9. Considérons le faisceau des hypercycles cubiques qui touchent quatre semi-droites données Â|, A2, A3 et A4. Soient A et A' deux semi-droites prises arbitrairement; à chacune des courbes du faisceau on peut circonscrire un angle, et un seul, dont les côtés soient parallèles à A et à A'; il résulte de ce qui précède que le lieu du sommet de cet angle est une conique dont les asymptotes sont parallèles à 1 et à 1'.

En particulier, quand les semi-droites A et A' viennent à se confondre, on obtient la proposition suivante :

Si, à chacune des courbes du faisceau, on mène une tangente parallèle à une semi-droite donnée A, te lieu du point de contact est une parabole dont l'axe est parallèle à A.

10. Uétude des courbes de direction de la troisième classe se rattache à un autre genre de considérations d'une grande importance dans la théorie générale des courbes de direction.

(') Si les trois cycles donnés n'étaient pas tangents à une même semi-droite) l'enveloppe de T serait un hypercycle de la quatrième classe.

Étant donnée dans un plan fixe une droite quelconque D, on peut, par cette droite, mener deux plans isotropes qui sont distincts si la droite n*est pas elle-même une droite isotrope; nous rattacherons respectivement ces deux plans aux deux semi-droites A et — A déterminées par la droite D.

Ainsi, par toute semi-droite du plan, passera un plan isotrope parfaitement déterminé. Cela posé, étant donnée une courbe quelconque de direction K, si Ton imagine les divers plans isotropes qui contiennent les tangentes à cette courbe, ces plans envelopperont une surface S; en d'autres termes, si l'on considère la développable isotrope (* ) complète qui est circonscrite à K, cette développable se décompose en deux surfaces distinctes, qui correspondent à K et à la courbe qui lui est opposée.

11. Il résulte de là que la classification des courbes planes de direction se ramène à la classification des surfaces développables isotropes.

Étant donnée une surface développable isotrope S de classe r, tout plan sécant P la coupe suivant une courbe de direction Kqai est de la même classe. Je ferai remarquer en outre qu^en désignant par 6 l'arête de rebroussement de S la projection orthogonale de B sur le plan P est la développée de la courbe K suivant laquelle le plan coupe la développable.

Les cônes isotropes qui ont pour sommets les divers points de 6 coupent le plan P suivant les cycles osculateurs de la courbe K.

12. On voit, en particulier, que l'élude des courbes de direction de la troisième classe se ramène à celle des développables isotropes de troisième classe et ces courbes sont toutes de la même espèce, puisqu'il n'y a qu'une seule espèce de développables de la troisième classe.

(') J'appelle déi^eloppable isotrope une surface développable dont toutes le< nératriccs sont des droites isotropes et dont, par suite, les plans osculateurs sont des plans isotropes. Voir^ à ce sujet, mon Mémoire sur remploi des imaginaires en Géométrie {Nouvelles Annales, 2* série, t. XI, 1872).

Des considérations analogues à celles que je développe ici ont été employées par M. Stephanos dans diverses Communications orales faites à la Société mathématique de France,

Soient 6 une cubique gauche isotrope et S la dëveloppable isotrope dont elle est Taréte de rebroussemenl ; on voit que toute section plane de S est un hjpercycle cubique (en d^autres termes, une anticaustique par réflexion de la parabole, les rayons incidents étant parallèles); la projection orthogonale de B sur un plan quelconque est par suite une caustique de parabole.

13. Comme application, considérons un hjpercycle cubique K; soient S la développable qui est Tenveloppe des plans isotropes, qui contiennent les diverses tangentes à Thypercycle, et S la cubique gauche qui forme son arête de rebroussemant.

Considérons trois tangentes quelconques A, 6 et C à Thypercycle; désignons respectivement par a, 6 et c les points où elles touchent la courbe et par a, J3 et y les points où les plans isotropes menés par À, 6 etC louchent la cubique 6. Ces plans osculateurs de S se coupent en un point 8 qui, d'après un théorème connu, est situé dans le plan déterminé par les trois points a, ^ et y; soit T la droite suivant laquelle ce plan coupe le plan P deThypercjcIe K.

Les cônes isotropes ayant respectivement pour sommets a, ^ety coupent le plan P suivant les trois cycles R^, R^ et Rc qui osculent K aux points a, b et c, et l'axe de similitude de ces trois cycles est évidemment la droite T. Le cône isotrope aj^ant pour sommet le point 8 a pour trace sur le plan P le cycle inscrit dans le triangle ABC et, comme le point 8 est dans le plan a^y, il en résulte que le centre de similitude de ce cycle et de l'un quelconque des cycles R«, R^ et Rc est situé sur T.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Etant donnés trois points quelconques a, 6, c d'un hypercycle cubique, si Von imagine les cycles R^, R^ et R^ quiosculent la courbe en ces points et le cycle R qui touche les tangentes menées en ces mêmes points, les six centres de similitude de ces quatre cycles considérés deux à deux sont sur une même droite.

14. On doit remarquer en particulier le cas où le plan, qui contient les points a, ^ et y, est un plan isotrope; la proposition précédente peut alors s'énoncer ainsi qu'il suit :

Etant donnés un hypercycle cubique K et une s^mi-droite

670 OéOMÉTRIE.

arbitraire A située dans son plan; il y a trois cycles oscutateurs de K qui touchent A. Les tangentes menées aux points d'osculation et la semi-droite A sont tangentes à un même cycle.