KLLIPTIQUBS ET ULTRA ELLIPTIQUES

A lA THÉORIE DES COURBES UNICDRSALES.

Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences; i883.

1. En désignant par t un paramètre variablci considérons une courbe unicursale dont la tangente soit déterminée par Téquation

où /(t)j o(l) et 8(^) désignent des polynômes entiers. L'expression de la distance d'un point quelconque du plan à cette tangente

renferme le radical Vv(0 + ?^0> ^"^ j'écrirai sous la forme P(^)y/F(^), en mettant en évidence la partie rationnelle. Si F(^) est une constante, la distance d'un point du plan à la tangente est déterminée en grandeur et en signe ; alors la courbe est de l'espèce de celles que j'ai étudiées sous le nom de courbes de direction. Dans le cas contraire, la courbe doit être considérée comme double, en sorte qu'en chaque point on peut mener deux tangentes qui sont des semi-droites opposées.

Une tangente étant donnée (en position et en direction), il lui correspond non seulement une valeur du paramètre ly mais encore

une valeur déterminée du radical \/F(/). Si la courbe est une ellipse ou une hyperbole, F(^) est du quatrième degré; en considérant ces coniques comme enveloppes de semi-droites, on doit donc dire qu'elles sont du genre un, et il y existe, à ce point de vue, une infinité d^aiitres courbes unicursales du genre un, à