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savoir celles pour lesquelles on a

F(/) étant un polynôme du troisième ou du quatrième ordre.

Soient K une conique donnée, Â et 6 deux tangentes fixes à celle courbe. Menons une tangente quelconque T et construisons le cycle bien déterminé qui touche A, 6 et T; ce cycle et la conique ont en commun une quatrième tangente 0 et il est clair, d'après cette construction, que B est parfaitement déterminée quand on se donne T et réciproquement; ces deux tangentes forment une involution sur la courbe.

T étant déterminée par le paramètre t et une valeur de v^F(<),

soient 6 et v/F(Q) l^s valeurs du paramètre et du radical corres* pondant à la tangente 6; il résulte immédiatement de ce qui précède que Ton doit avoir des relations de la forme

e = 4>[^ /FTô], /F(F) = v[/, /F(7)],

où <{» et ^ désignent des fonctions rationnelles, et, en même temps,

Ces relations font prévoir le rôle que jouent dans cette question les fonctions elliptiques. En général, si Ton a une courbe quelconque de direction dont Téquation renferme des paramètres variables et si Ton considère les tangentes communes à cette courbe et à la conique H, on déduit du théorème d^Abel la relation

dt dt' dt"

où les quantités r, y/F(/), t\ \J¥{(!)^ . . . sont déterminées par les diverses tangentes communes. Considérant en particulier les cycles qui touchent les tangentes fixes A et 6, on a, par suite,

Les tangentes correspondantes T et 9 se coupent en un point M ilout il est aisé d'avoir le lieu; si l'on désigne par a et ^ les points

APPLICATION DES INTÊGRALKS A LA THÉOIUE I>K» COriîUKvS l'LA.VKS. r»73

OÙ T esl rencontrée par les tangentes correspondant à T et à la semi-droite opposée — T, on voit que T ne rencontre le lien qu'aux points a et ^; d'où il suit que le lieu est une conique. D'ailleurs, si T est isotrope, comme elle se confond avec son opposée, les points a et ^ sont confondus : donc cette droite touche le lieu qui est ainsi une conique ajant les mêmes foyers que H. Celte conique passe d'ailleurs par le point de renconlre des tangentes fixes A et B et elle esl entièrement déterminée par la condition que la hisseclrice (*) de A et de B lui esl langenlc. On retrouve ainsi une proposition donnée déjà par Chasies, mais avec moins de précision; les signes des radicaux qui entrent dans la relation (i) sont, comme on le voit, pariailcmeul délerminés par les directions des tangentes considérées.

2. Il résulte de ce qui précède que, si l'on détermine chaque tangenle à la conique H par l'argument d'une fonction elliptique, la condition nécessaire et suflisanle pour que quatre tangentes touchent un même cj'cle est que la somme des arguments soit congrue à zéro, suivant les deux périodes de la fonction. Comme un hypercycle cubique est déterminé par cinq tangentes, on peut énoncer également celle proposition : Pour que six tangentes à H touchent un même hypercycle cubique^ il faut et il suffit que la somme de leurs arguments soit nulle.

En particulier, le problème de construire un cjcle osculaleur d'une conique (^) qui touche une tangente donnée se ramène ù la résolution de l'équation sin am ix =. sin am a.

(') Je rappelle que je Domme bissectrice de deux semi-droites la droite parfai. iement détermioée qui est le lieu des centres des cycles qui toucheni ces semidroites.

(') Dans le cas de la parabole, le polynôme F(/) est du second dr^n; : relie courbe esl donc du genre zéro et Ton ne peut plus mener que irois exics osculatears qui toucheni une tangenle donnée. Celte tangente et les tangentes menées aux poinls d'osculation louchent un même cycle, proposilion analogue à la suivante, due à Sleiner - Il y a trois cercles osculateurs à une conique, qui passent peur un point de cette courbe; ce point et les trois points d'osculation sont sur un même cercle.

Etant donnée une parabole, on peut du reste, à chaque tangenle iiienée à ccKe courbe, fa^ire correspondre un point d'une hyperbole, de telle sorte que, quand quatre tangentes à la parabole touchent un même rycle, les quatre points rorrespoodaots de rhyperbole sont sur un même cercle.

ft-\ GEOMKTRIE.

3. Des considérations enlièremenl analogues s^appliquent aii\ intégrales ultra-elliptiqnes. On peut aussi étudier des courbes non unicursales et déterminer leur genre quand on les considère comnie enveloppes de semi-droites; dans Tespace, les courbes gauches donnent lieu à une étude et à des propositions semblables et, bien que cette extension se présente d'elle-même très aisémeol, je reviendrai sur ce sujet, si TAcadémie veut bien me le permettre.

^UR LES