ANTICAISTIQUES PAR RÉFRACTION DE LA PARABOLE

LES RAYONS LNCIDENTS ÉTANT PEUPENDICILAIRES A l'aXE.

Nouvelles Annales de Mathématiques ; i885.

1. L'hypercycle esl la transformée, par semi-droites réciproques, de la parabole; c^esl une courbe de direction de la quatrième classe et dont Téquation la plus générale, en coordonnées langeutielles et les axes étant rectangulaires, est de la forme

Ses propriétés les plus importantes sont les suivantes :

i"* Les tangentes à la courbe peuvent être associées deux par deux, de telle sorte que deux tangentes conjuguées quelconques et deux semi-droites fixes (les semi-droites fondamentales de la courbe) forment un système harmonique (*).

2° L'enveloppe des conjuguées d'une semi-droite D, par rapport à tous les couples de tangentes conjuguées, est un cycle K. que j'appellerai le cycle polaire de D.

Il est clair qu'un hypercycle est entièrement déterminé quand on se donne les semi-droites fondamentales, une droite quelconque du plan et son cycle polaire.

(*) Deux couples de semi -droites forment uo système harmonique, quand elles touchent un même cycle et que leurs points de contact partagent harmoniquemeni la circonférence.

Sur les propriétés mentionnées dans le texte, voir mon Mémoire sur les hypercycles {Comptes rendus, mars et avril i88j); dans toute la suite de celte NoU:, les renvois à ce Mémoire seront simplement indiqués par la lettre H.

f>'f) GÉOMÉTRIE.

3" Le cvcle polaire d'une tangente louche cette tangente en son point de conlact avec la courbe.

4^ En désignant par A, À' et B, B' deux couples quelconques de tangentes conjuguées, si Ton considère une tangente mobile quelconque T et si Ton construit les cycles inscrits dans les triangles AA'T et BB'T, la longueur comprise sur T entre les points de contact est constante en grandeur et en ligne (*).