En partant de Péquation diiTérentielle

(18) j?y-f- (ar-f-i — a)y — /i>' = o,

à laquelle satisfait le polynôme fni on trouve aisément

/„= x»->r n(n — 0L)x" ïH ; — -(n— a) (n — a — i)J7«-2-4-. ..

Une deuxième solution de Téquation (i8) est donnée (n° 3) par la fonction

il est facile de trouver une autre expression de Un» En effet, en dérivant n fois l'équation (18), il vient

OO àUUMÊJL.

d'où Ton voit que i'^'**-'^ est égal, à ane ooBStaBlie pras.

Par suile. on a. K désîgnani une constante «i F jr . mi polTnoae entier.

La fonction u„ est en particulier donnée par ccCle forBole. cl, comme elle s*évanouit quand on donne à x ■»«* valenr positive infiniment croissante, on a simplement

/fc

Si Ton suppose x et n constants « et je sopposerai jr positif, en sorte que les intégrales contenues dans Fé^alilé précédente sont toujours finies, quel que soit z . K est une fonction de s bien d**terminée.

Pour en trouver la valeur, je supposerai que Ton fait tendre x \er^ zéro et que z a une valeur positive: de l'é^lilé précédente, on dtrduit alors

y,« o r» a ) = Kr i .

d'où

et. par suile,

Jk I f ^T^ dT — ^»r •«'^, =»I — 2>«2 — X-.-.'JI ï ^ —