On tir»- dr- L
/ ^ -^ -dT^^ -T-^ / — .,., , ;
rintéc*~âle contenue dans le second membre a une ^a'eur Cuie. car elle a une valeur plus petite que Pintégrale
il serait même facile de démontrer qu'elle tend vers aôro quand n augmente indéfiniment.
On a, d'ailleurs,
fn n X ni n — i) x^
t-ll = I H ! -4-
quel que soîlle nombre a, les leniies de ce développement (inironl par élre tous du même signe, et, comme leur degré par rapport à /i va toujours en croissant, on voit que la valeur absolue de la série croîtra indéliniment avec le nombre /i.
Le coelficienl
a ainsi pour limite zéro, et Ton a
e-^x^-^ dx = e-^x^ lira ï? •
fn
Les réduites •^- > quoique provenant de la réduction en fractions
Jn
continues d'une série divergente, fournissent donc, avec une approximation indéfinie, la valeur de l'intégrale / ^~*a:*~* rfjr, pourvu que x ait une valeur positive.
!20. Soit, par exemple, à calculer l'intégrale
• Il en posant ^= yjz, elle devient
e~^ fix
dont la valeur approximative, en prenant seulement la réduite y 9
ae-"^
est
Faisant a = 3, on trouve, comme valeur approchée,
dont les trois premiers chifTies significatifs sont exacts.
ALOKBKK.
21. Les formules précédentes permetlent de calculer aîséme es valeurs de la fonclion de Pr^m,
Que Ton désigne, en elFet, parFo(a), F|(a), F2(a), — 4>,(3 <I>i(a\ 4>2(a), . . . deux suites de polynômes liés entre eux par I relations suivantes :
Fn-Ki («) = {>n -t- 7 — a) F„( a) — n{n — a) F„.-,(a ), 4>rtH.i ( a) = ( 9- /i -h :< — a ) 4»„ ( a » — /i ( /i — a ) ♦« i (a):
avec les valeurs initiales
Fo(a) = 1, F, ( a) = -^ — a,
il résulte des formules précédentes que Ton a
eQ(a » — lim — -•
Soit, par exemple, j:* = i .
On obtiendra succcssi\enient, pour les valeurs approximatif (le ^Q(o), les valeurs suivantes :
4 'lo i?.\ «)>.» 794(>
7 34 "iOi) l'jii't 1 33-17
qui vont en croissant et en restant inférieures à la valeur cliercf Il est facile d'obtenir d^autrcs suites de nombres allant cons' nient en diminuant et avant cette valeur pour limite; on trou^ eHet les expressions suivantes des réduites du nombre ^Q(-
I 5 7.9 v.oi i()3i 3 i\ 73 Soi 4odi
t)e la formule connue
on déduit que les fractions
•1 8 44 3oo x^'io 3 li 7$ 5oi ioji
ont pour Hniiie Q(o),
SLR LA RÉDUCTION EN FRACTIONS CONTINUES. 7o3
Ces fraclions sont plus simples el convergent plus rapidement que les fractions déterminées plus haut; elles vont d'ailleurs toujours en décroissant.
En particulier, on a
4o5i et
ces deux fractions comprenant la valeur de eQ(o), on a, avec
une erreur de moins de ^
eQ(o) = 0,5965.
Le développement en série donne (§ Compendium de Sc/tiômilch, t. II, p. 266) :
La convergence est sensiblement moins rapide que celle des réduites.
22. Pour les applications qui suivent, afin de simplifier les formules, je prendrai le nombre A,i, qui était resté arbitraire, égal à Tunité.
Les relations qui existent entre les termes des réduites et les polynômes Q,i, 0„ et Û„ deviennent alors
, //i-hl — Qn //»-+-//!- 1 = 0,
Wcp;, = (i2«-+- V )'f „ -+- e„cp„-i -h \}fn ;
et les identités qui délerminnit les polynômes Q„, 0„ et Û«,
(19) Q«(i2„^i — i>„)-he„^,-e„i=\vQ;,
7o4 ALGEBRE.
on peut y joindre la relation
où S/, désigne un polynôme entier.
l.'é(|ualion difTérenlielle à laquelle satisfait/;, est d^ailleurs
we„ j'-h [(2 V -4- w ) - we;,iy
23. Pour fixer les idées, je supposerai que le développement de z commence par un icrme qui soit au moins du degré de -•
Pour le dénominateur de la réduite de rang zéro, je prendrai Tunité, en sorte que l'on aura/o=> et que Ço sera l'ensemble des termes entiers de z (lequel pourra se réduire à zéro).
Je considérerai les deux quantités
et
comme constituant deux réduites précédentes, en posant
/. , = o, a , = — f et
Il est facile de voir, en eiïet, qu'en posant
toutes les relations du tableau (A) qui existent entre les réduites consécutives sont satisfaites.
On aura donc
