Soit, comme exemple, la fonction

z = \/x'' -h •l'k x^~hi f ^ 1

qui satisfait à l'équation différentielle du premier ordre

(•^^-4- 2X5724-1)5'= 2(^3 ^-Xx)5- (x*+aXx«-hi);

SUR LA RÉDUCTION EN FRACTIONS CONTINUES. 'JoS

on a ici

Je remarquerai lout d^abord que, z étant une fonction impaire do x^ les polynômes (f„ et /„ sont des fonctions paires ou impaires de la variable, et que le produit ^n/n est une fonction impaire.

Il en résulte que 6,| est une fonction paire, et Ton peut poser

12/2 est une fonction impaire dont le terme de degré le plus élevé est le premier terme du développement de

Vh =iF'-f-Xa7H — (ar*-i- 2X^7*-+- 1):

on peut donc poser

12;,= (n -^i)x^-+-0LnX;

enfin Q„, qui est une fonction impaire, sera de la forme A„x.

Portons ces valeurs dans les identités (19) et (20); en égalant à zéro les coefficients des diverses puissances de x, on obtiendra les formules suivantes :

(rx)

«/i-hl = — «n -+- (-2 /* -f- 3) — , , , , -2/1-4-3

2AI -t- 3 ^

dont les trois dernières permettent de calculer de proche en proche, et par voie récurrente, les nombres a/, a/ et bg,

La première donne les relations suivantes entre les réduites consécutives :

//i-f-l H ^/n -^fn-\ = O,

Kn exprimant que