SIR UNE FORMULE RKLATIVE AUX COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE
2. Imaginons niainlenant une courbe quelconque C tracée sur une surface du second ordre, et soient M et M' deux points infiniment voisins de cette courbe; la relation précédente aura lieu pour ces deux points. N désignant la normale au point M, N -f- dN sera la normale au point M'. 11 s'agit maintenant d'évaluer le rapport des deux cosinus cosV et cos V.
A cet effet, je nae servirai des désignations et des formules employées par M. Serret dans sa Note Sur les lignes de courbure des surfaces insérée dans le Traité de calcul différentiel de Lacroix (p. 298).
Désignons par a, p, y les angles que forme, avec trois axes rectangulaires, la tangente à la courbe au point M dont les coordonnées sont X, j', 5; par Ç, u, Ç et )v, jjl, v les angles formés avec les mêmes axes par la normale principale et par l'axe du plan osculaieur. Soient aussi dz et dr^ les angles de contingence et de torsion.
Désignons par a', P', y' les angles formés avec les axes par la normale à la surface du second ordre au point {x^ y^ z). On peut toujours assigner une ligne à double courbure C qui corresponde point par point à la courbe C, de telle sorte que la tangente en un point de cette courbe soit parallèle à la normale menée à la surface du second ordre par le point correspondant de la courbe C. Soient ^, u', XJ et V, [x', v' les angles que font avec les axes la normale principale et l'axe du plan osculateur de cette courbe; soient, <lc plus, rfe' et dr^' les angles de contingence et de torsion.
Cela posé, on peut écrire les trois groupes suivants de for- '"ules, par lesquelles les angles (o et m se trouvent complètement définis :
cos a cos a' -i- cos^ cos^'-f- cos y cos y'
cosacosÇ'-f- cosp cosTr)'-+- cosy cosÇ'
sinci),
l cosa cosX'-H cospcosfji'H- cosY cosv'
cosw,
1 cos 5 cos a' -H cos'j cos^'-i- cos^ cosy'
— sin ny,
/ cosÇ COS$' -+- COSJ cosu' -4- cosÇ cosÇ'
— cosny cosoj,
COSJ COsX'H- COSU COS{Jt'-f- cosÇ cosv'
C0ST7 sinoi,
cosX cos a' -4- cosficosP'-i- cosv cosy'
cosm,
cosX cosÇ' -f- cos[icosu'-+- cosv cosJJ'
— sinm cos(i>,
cos X cos X' -H cos fji cos jjl' -h cosv cosv'
sinnr sinu)^
8o GÉOMÉTRIE.
La difTérentiation de ces équations conduit aux trois suivantes :
(it) sintù dz' = s\nw dif
(3) dr^'-^do} = — cos m ds,,
( 4 ) dm = dy\ -h cos w dz\
3. Pour évaluer cosV et cosV, je remarque que, les cosinus des angles que fait la normale au point M avec les axes étant respectivement cosa', cos^', cosy', le cosinus de l'angle que fait la normale au point M' avec Taxe des x est
cos rx.'-hd cos a' -4- - <f * cos %\
expression qui, en prenant Tare de la courbe pour variable indépendante et en employant les formules données par M. Serret (Lacroix^ p. 284 et suivantes), devient
cosa'-+-cos5'é/e' h — (cosj'cf^e' — cos«'<fE'* — cosV dt'dy{).
Les cosinus des angles que fait cette normale avec les deux autres axes auraient une forme semblable; il est inutile de les écrire.
Cherchons maintenant les cosinus des angles que fait avec les axes la corde MM'; il suffit évidemment de trouver des quantités proportionnelles à ces cosinus. On pourra donc, au lieu de ces cosinus, employer les projections de la corde MM' sur les trois axes, ou bien oj?, 8^ et 03 : J7 -f- Sx, y -^-^y et 5 -4- 8z désignant les coordonnées du point M'.
La formule de Taylor donne, en se bornant aux premiers termes,
or -y- = cosa ; on pourra donc prendre, pour le cosinus de l'angle que fait avec Taxe des x la corde MM', l'expression
ces an — d cos a -f- -xd'^i cos a ), 2 6
expression qui, au moyen des formules de M, Serret, devient
cos ^-^ — cos \dt-\- - ( cos \d^t. — cos a d^'*- — cos X d% dr^ ). 2 6
SLR UNE FORMULE RELATIVE AUX COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE. 8l
Les deux autres cosinus auraient une forme semblable; il esi
mutile d'en donner la valeur.
Ceci posé, la formule connue qui donne le cosinus de l'angle de deux droites fournit immédiatement, en employant les relations (A), les deux expressions suivantes :
(5) cosV = sinoT^s — - sinm d^z — ^cost9^e rfïj,
I cosV' = sint9^£ — :: sinra^i^R — -costd dtdn-^ sinox/e'
I cosTir coscu^e ^e'n — sinu>^*e' costùdt'd-n'.
Celle dernière expression peut se simplifier; on a, en elTel,
d'après l'équation (2),
s'inui dz' = Mtk m de;
en outre, en différenliant cette dernière relation, on obtient
sinuid^t' = d(sinw dz) — costa dt'dta,
ou bien, comme d'après Téquation (3),
dut = — dri' — CCS w de, sinw d*t'=^ d{s\nw de) h- cosio de' dr\ -\- ces tu cof>m de de' \
rn portant ces valeurs de siinùdkl et de sinwrf^s' dans Téquacion (6), il viendra, toutes réductions faites,
(-) cosV'= sinm^e — -sinm^'e — -cosmrferfinH — disxnm de), ' '2 b 6 2
L'équation (1) devient donc, en multipliant les deux termes du second membre par 2,
,^ — sin Tzr ^e — - siii Tn rf* e — - ces w de dr^
iN I . I
sinm de — x sinroe/^s — - costïj de dr^ ■+- d(sinxs de)
d'où, en réduisant.
... -^s'mxn d^e-¥- -cosm dedy\ — d(sinTnde)
N ~~ s'inm de *
