SUR UNB FORMULE RELATITE AUX COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE

4. La formule précédente fournil aisément les relations connues pour les lignes géodésiques et les lignes de courbure des surfaces du second ordre.

Considérons d^ abord une ligne géodésique ; d'après la définition de cette ligne, on a pour tous ses points sinm = i et tangm = oo ; rintégrale contenue dans le second membre de l'équation (8) est donc nulle, et il vient simplement

Pt po

d'où cette proposition :

Le long d^une même ligne géodésique tracée sur une sur/ace du second ordre, le rayon de courbure de la courbe est proportionnel au cube de la normale.

C'est le théorème de Joachimsthal.

5. Supposons maintenant que C soit une des lignes de courbure de la surface; alors, d'après le théorème de Lancret, on a

dri = dT3\

l'intégrale contenue dans le second membre de l'équation (8) devient alors

= logsinT9| — logsinTïTo,

tangiiT

le second membre de cette équation devient

^t (loir sInCT,— 109 sincT,) :^ .. '

sinnij

et la formule (8) donne alors

N}siniff| , NjsinoJa ^

pi po

d'où l'on conclut que le long de la courbe conserve une

valeurconstante. Remarquons maintenant que, d'après le théorème

de Meusnier, est égal à -> r désignant le rayon de courbure

de la section normale tangente à C; le long d'une même ligne de

courbure — conserve donc la même valeur.

D'OÙ celle proposîlion, due à M. Dupin :

Le long d'une même ligne de courbure, le rayon de courbure de la section normale tangente à la courbe varie proportionnellement au cube de la normale.

6. Si j'avais voulu me reslreindre au cas des lignes géodésîques et des lignes de courbure, il eût été très facile de remplacer les considérations analytiques qui préct'dent par des considérations géométriques très simples et très élémentaires qui eussent conduit immédiatement aux théorèmes de Joachimsihal et de M. Dupin. Je laisse ce soin au lecteur; mon seul but, dans cette Note, était d'établir la formule générale (8), sur laquelle j'aurai plus tard Foccasion de revenir, tant pour en montrer l'application à la géométrie des surfaces du second ordre que pour montrer comment elle s'étend aux surfaces de degré supérieur.