SUR L'EMPLOI DES IMAGINAIRES EN GÉOMÉTRIE (M

Nouvelles Annales de Mathématiques ; 1870.

Définition des droites isotropes et des ombilics. — Coordonnées isotropes, — Représentation d'un point imaginaire. — Distance de deux points imaginaires.

i. Dans toul ce qui suit, je considérerai toujours un plan réel vi les figures tracées dans ce plan. Plus tard, en traitant de la (jéomélrie de l'espace, j'examinerai quelles modifications et quelles restrictions on doit apporter aux résultats obtenus, quand on veut les appliquer à des plans imaginaires et aux figures tracées dans ces plans.

Considérons donc un plan réel, et dans ce plan deux axes rectangulaires réels Ox et Oy, auxquels nous rapporterons les points du plan suivant la méthode de Descartes.

Soient A un point quelconque de ce plan, a et ^ ses coordonnées réelles ou imaginaires.

L'équation d'un cercle ayant ce point pour centre et la longueur p pour rajon sera

Si nous supposons que le rayon p décroisse indéfiniment jusqu'à devenir nul, la courbe représentée par Téquation précédente variera de forme, en demeurant toujours un cercle. A la limite, pour p = o, elle représentera un cercle de rayon nul; remarquons que, dans ce cas, le premier membre de son équation se décom-

(') Nous reproduisons ici la première leçon du Cours de Géométrie supérieure, professé cette année par M. Laguerre à la salle Gerson.

SUR L*E3IPL0I DES IMAGINAIRES EN OÉOMÉTIUE. 89

pose eo deux fadeurs el

en sorte que, en réalité, le cercle de rajon nul ayant pour centre le point réel ou imaginaire dont les coordonnées sont a et ^ se décompose en deux droites dont les équations sont

(jr ~ ^) = i{x^i) el

Ces droites remarquables, en lesquelles se décompose un cercle lorsque son rayon de\ient nul., sont caractérisées évidemment par celte propriété très simple d^avoir respectivement -f- « et — i pour coefficient angulaire.

Si donc l'on imagine tracées dans le plan toutes les droites analogues que l'on obtiendrait en considérant tous les cercles de rayon uul ajant pour centres les difTérents points du plan, Ton voit que toutes ces droites formeront dans le plan deux systèmes de droites parallèles.

Pour Fun de ces systèmes, le coefficient angulaire est -f- i, en sorte que la droite de ce système qui passe par le point (a, P) a pour équation

je dirai que cette droite est la droite isotrope du premier système passant par le point (a, P). Tontes les droites isotropes du premier sysiènoe étant parallèles entre elles concourent en un même point de Tinfini, qui est défini par le coefficient angulaire commun à ces droites; dans tout ce qui suit, je désignerai constamment ce point de la droite de l'infini par la lettre l.

Pour l'autre système, le coefficient angulaire est — /, en sorte que la droite de ce système qui passe par le point (a, P) a pour «quation

je dirai que cette droite est la droite isotrope du second système passant par le point (a, p). Toutes les droites de ce second sys-

go GEOMETRIE.

lèine coDcourenl en un même point de la droite de TinGni, que je désignerai conslaroment par la lettre J.

S. Il était nécessaire, vu Timportance des droites remarquables que je viens de mentionner, de leur donner un nom spécial, bref et expressif. L'expression de droite isotrope, n^ajant pas encore de signification en Géométrie, m*a paru convenable pour atteindre ce but; elle se justifie en remarquant que Féqualion d'une quelconque de ces droites, comme il est facile de le vérifier, ne change pas de forme lorsque, conservant la même origine pour les axes, on passe du système d'axes primitif à un autre système d*axes rectangulaires quelconques.

Une propriété essentielle de droites isotropes, et qui pourrait servir à les définir, est la suivante : la distance entre deux points quelconques d'une droite isotrope situés à distance finie dans le plan est nulle. En d'autres termes, ces droites satisfont à l'équation diflTérentielle

ds = o.

Sur une surface quelconque, on peut étudier les courbes qui satisfont à cette équation difTérentielle; ces courbes sont des lignes géodésiques de la surface, et nous leur donnerons aussi le nom de lignes isotropes.

Les deux points remarquables de la droite de l'infini vers lesquels convergent les deux systèmes de droites isotropes d'un plan, et que nous avons désignés par les lettres I et J, méritent aussi, vu leur fréquent usage, une dénomination simple et concise; je les désignerai sous le nom d'ombilics du plan; ces points jouent, en effet, dans le plan, le même rôle que jouent, dans la théorie des surfaces du second ordre, les ombilics de ces surfaces situés à l'infini.

3. De ce qui précède, il résulte que par chaque point du plan réel ou imaginaire passent deux droites isotropes, l'une du premier système et l'autre du second système, et que ces droites peuvent être obtenues en joignant le point donné aux deux ombilics du plan.

Les deux droites isotropes passant ainsi par un point A forment, dans leur ensemble, un cercle de rayon nul qui jouit de toutes les