SUR L EMPLOI DES IMAOINAIRES EN GEOMETRIE
propriétés du cercle. Voici celles de ces propriétés sur lesquelles je m'appuierai principalement :
K Si une droite menée par un point B du plan coupe, aux points m et m', les deux droites isotropes issues d^un point A, le produit des segments B/n et B/n' est égal au carré de la longueur BA.
» Les choses étant posées comme précédemment, la perpendiculaire abaissée du point A sur la droite Bmm^ a pour pied le point milieu du segment mm'. »
Le cercle ainsi formé par les deux droites isotropes passant par un point A ne contient évidemment d^autre point réel que le point A, si ce point est réel. Examinons ce qui se passe lorsque le point A est imaginaire.
On peut d'abord remarquer que toute droite imaginaire du plan contient un point réel. En eflet, son équation, en mettant en évidence la partie réelle et la partie imaginaire, peut se mettre sous
la forme
PH-Qt=:o.
D'où IViD voit que le point réel, qui est Tintersection des deux droites réelles P = o et Q = o, se trouve sur la droite proposée. Toute droite imaginaire contient donc toujours un point réel, qui peut être à Tinfini, lorsque les droites P =r o et Q = o sont parallèles; dans ce cas, la droite imaginaire passe par un point réel de la droite de l'infini, ou, autrement dit, a une direction réelle. Il est d'ailleurs évident qu'une droite imaginaire ne peut contenir qu'un seul point réel.
Je dirai que deux points sont imaginairement conjugués lorsque leurs coordonnées sont respectivement des quantités imaginairement conjuguées; que deux droites sont imaginairement conjuguées lorsque l'on peut passer de l'équation de l'une à i équation de l'autre en changeant -f- i et — i, et réciproquement.
De celte définition, il résulte immédiatement que :
'° Si un point se trouve sur une droite imaginaire D, le point qui lui est imaginairement conjugué se trouve sur la droite imaginairement conjuguée à D ;
2" Deux droites imaginairement conjuguées se coupent en un point réel ;
3® Deux points îmagÎDairement conjugués sont toujours situés sur une même droite réelle, et cette droite est évidemment la seule droite réelle qu*on puisse faire passer par chacun des deux points.
Cela posé, si, par un point A, on mène une droite isotrope du premier système, cette droite contient un point réel a, qui sera d'ailleurs à distance finie, puisque la droite isotrope a une direction imaginaire et coupe la droile de Tinfini à rombilic 1; de même la droite isotrope du second système, passant par le point A, contient un point réel a\ situé également à distance finie.
On voit que le point A détermine complètement les deux points a ei af ] réciproquement, ces deux derniers points déterminent sans ambiguïté le point A, car ce dernier point est l'intersection de la droite isotrope du premier système passant par a avec la droile isotrope du second système passant par a.
Nous pourrons donc fixer sans ambiguïté la position d^un point imaginaire dans le plan, par la position des deux points réels a et c^j ou, si l'on veul, parla position du segment aa^ ] nous dirons que aa est \e segment re/irésenlatif du point imaginaire A, que a est l'origine de ce segment, et que a' en est Textrémité.
Il est très important d'établir que ce segment représentatif d'un point est toujours le même, quels que soient les axes du plan auxquels on l'ait rapporté.
Soient, à cet eflet, a et ^ les coordonnées imaginaires d'un
point A, et, en mettant en évidence la partie réelle et la partie
imaginaire,
La droite isotrope du premier système passant par ce point a pour équation
les coordonnées ao et 6o du point réel a situé sur cette droite sont évidemment
flo = «'-?'
et
bo=^'-h a'.
Changeons maintenant de système d*axes rectangulaires, en transportant leur origine au point (Ç, 7^) et, en les faisant tourner de
SUR L'ESdPLOI DES IMAGINAIRES EN OKOMÉTRIE. 9.3
Taogle (i), les formules de iransformation à employer seront les
suivantes :
X = Ç -h a? cos (I) — ^ sîn 0),
Y = ij -H ar sinto -\-y coso).
Les Douvelles coordonnées du point A seront, dans ce nouveau
système,
% -4- («'-+- a'i) cosu) — cp'-4- P't) sino)
et
ij -4- (a'-+- a'i)sina) -+- ( p'-+- P'ï)cos(i).
Les coordonnées du poinl réel situé sur la droite isotrope du premier système passant par ce point seront, diaprés les formules
précédentes,
a^ = Ç -H a'coscu — p'sinco — a'sino) — p'coso) el
6^ = Tfj -+- a'sinci) -h 3'costo -h a'cosco — P'sino),
ou bien
a'o — Ç -+- «ocoso)— ^osincii,
60 = ij -4- aosino) -4- ôocoso).
L'on voit que a^ et b\ se déduisent de a^ et de 60 par les formules de Iransformation données ci-dessus; la proposition est donc
démontrée.
4. Cette proposition juslilie l'emploi du segment aa' pour représenter le point imaginaire A. La position de ce segment ne dépend que de la position du poinl imaginaire lui-même, et nullement du choix des axes coordonnés, que nous n'aurons plus dès lors à considérer que pour éclaircir et établir avec plus de sûreté quelques formules fondamentales.
Je désignerai, dans tout ce qui suit, un point imaginaire par une simple lettre, ou, lorsque Ton voudra mettre en évidence les éléments réels qui le déterminent, par son segment représentatif; en sorte qu'un point imaginaire A, ayant pour segment représentatif aa', sera représenté par la notation (a, ci').
Aux considérations qui précèdent, j'ajouterai les réflexions suivantes. Quand un point est réel, les deux extrémités du segmenl qui le représentent se confondent avec ce point lui-même. Le cas dun point réel est donc contenu dans le cas général d'un point imaginaire.
94 OKOMÉTRIE.
Soient A un point imaginaire, aa! son segment représentatif; si l'on imagine menée par a une droite isotrope du second système, cette droite sera imaginairement conjuguée à la droite Aa; de même, si par a- on mène une droite isotrope du premier système, cette droite sera imaginairement conjuguée à la droite Aa'.
Les deux droites ainsi obtenues se coupent en un point A' qui est évidemment le point imaginairement conjugué du point A, et qui sera représenté parle segment o! a.
D'où cette proposition : Si (a, a') désigne un point imaginaire, (a', a) désigne le point qui lui est imaginairement conjugué.
D'où encore les conséquences suivantes, que je me borne à mentionner à cause de leur simplicité :
1° La droite réelle qui joint deux points imaginairement conjugués est perpendiculaire au segment qui représente à la fois ces deux points et elle passe par le milieu de ce segment;
2° Si un point imaginaire est situé sur une droite réelle D, et si l'on connaît l'origine a de son segment représentatif, il suffira pour obtenir l'extrémité de ce segment, d'abaisser de l'origine une perpendiculaire sur D et de prolonger celte perpendiculaire d'uDe longueur égale à elle-même.
5. Dans le cours de ces leçons, lorsque, pour plus de clarté ou pour développer certains points particuliers, j'aurai recours à la Géométrie analytique, j'emploierai de préférence un système de coordonnées particulier, déjà employé du reste avec succès par divers géomètres, et que je désignerai sous le nom de coor^o/i/ie^^ isotropes.
Pour le définir, considérons un point quelconque O du plan, et menons par ce point dans un sens déterminé une droite indéfinie Oco, que j'appellerai Vaxe des coordonnées y le sens positif de cet axe étant fixé par ce qui précède.
Par un point quelconque du plan A, menons une droite isotrope du premier système, et soil a le point de rencontre de cette droite avec l'axe; désignons de même par ^ le point de rencontre de l'axe avec la droite isotrope du second système passant par le point A. Je prendrai pour coordonnées les deux longueurs Oa et O^, qui définissent évidemment la position du point A, et je poserai Oa = w et O^ = (v.
8VR L EMPLOI DES IMAOINAIIIKS KX OKO.MKTUIK. 9^
Les formules relatives aux coordonnées isotropes sont faciles à établir; je me bornerai aux suivantes, dont je vais me servir tout à rheure.
Si nous rapportons la figure à des axes rectangulaires, en pre-
nani Ou) pour axe des x, et la perpendiculaire en O pour axe
des^, et si, de plus, nous désignons par x eVy les coordonnées du
poiol A dans ce nouveau système, Ton voit immédiatement que
u =^ X -¥- yi,
iv = j' — j'i.
Soienl deux points du plan a et a\ et ici je les suppose essentiellement réels; soient respectivement x, y et ^', y, //, iv et //', (v' leurs coordonnées dans les deux systèmes. On a les formules connues
x' — J* = «rt'cosÀ, y — y = aa'siiiX,
formules dans lesquelles aa' est essentiellement positif, et où X désigne l'angle qu'il faut faire décrire au segment aa\ en le faisant tourner autour du point «, dans le sens des aiguilles d'une monlre ('), jusqu'à ce que la direction positive de cette droite devienne parallèle à la direction positive de l'axe Oa. J'entends ICI par direction positive de la droite aa'^ la direction dans laquelle se mouvrait un point mobile allant du point a au point a', sans passer par Tinfmi.
Il est clair que, par la définition qui précède, l'angle X est défini ^ wn multiple près d'une circonférence entière.
Multiplions maintenant la deuxième des relations précédentes part, ajoutons-la à la première; retranchons-les ensuite l'une de 1 autre; on obtiendra les deux équations fondamentales suivantes :
equaiions où aa^ et X ont le sens que j'ai fixé précédemment.
(') C'est ce que, durant tout ce Cours, j'appellerai le sens direct de rotation.
</> OéOMÉTRIE.
Des deux équations précédentes découlent les deux qui suivent :
(4) iu' — u)(iv' — iv ) = aa' .
Je ferai remarquer, en terminant, que les formules précédentes subsistent même quand les points a et a' sont imaginaires, mais alors il est très délicat de fixer la valeur précise de Tangle X.
La formule (4) seule peut être employée sans ambiguïté, car elle détermine le carré de la distance des deux points, carré qui a par lui-même une valeur parfaitement déterminée.
6. Évaluation de la distance de deux points imaginaires, — Soient deux points imaginaires A et B, et soient respectivement //, iv et w', w^ leurs coordonnées isotropes. Désignons de plus par aa' le segment représentatif du point A, et par hb' le segment représentatif du point B; autrement dit, posons A = (a, a') etB = (6, 6').
La formule (4) du paragraphe précédent pouvant être employée même pour des points imaginaires, Ton a
AB = (u — u){iv — w').
Je remarque maintenant que, pour les deux points A et a, la coordonnée u a la même valeur; il en est de même relativement aux deux points B et 6; cela résulte évidemment delà définition même des points a et 6. Les points acl b étant r/'els, on peut leur appliquer la formule (i) du n° 5, et l'on a
u' — u = ab. c^',
ab étant pris en valeur absolue, et )> désignant Tangle dont il faut faire tourner la direction ab pour Tamener à être parallèle à la direction positive de Taxe.
De même les deux points A el n'y ainsi que les deux points B et b' ayant respectivement pour la coordonnée (v la même valeur, i*on a sans ambiguïté
ab' étant pris en valeur absolue, et 0 désignant Tanglc dont il
SUR l'emploi des imaoinaihes en géométrie. 97
faut faire tourner la direclion a- U pour Tamener à être parallèle à la direclion positive de Taxe.
Des relations précédenles, on déduit immédiatement
ou en posant \ — 8 = [jl,
AB" — ab,ab',eP,
il est clair que Tangle a est l'angle dont il faut faire tourner la direclion ab^ autour du point ^ et dans le sens direct, pour Tamener à être parallèle à a' b' ,
On a donc la proposition fondamentale suivante :
Proposition. — Etant donnés deux points imaginaires A = (a, a!) et B = (^, 6'), le carré de la distance de ces deux points est une quantité imaginaire dont le module est la racine carrée du produit des longueurs ah et a' h\ ers longueurs éiant prises positivement, et dont r argument est l^ angle dont U faut faire tourner la direction ab, autour du point a et dans ie sens direct y pour l^ amener à être parallèle à a'b',
Rf^marqtie, — La proposition précédente s'applif|uc évideniinenl au cas où Tun des deux points donnés est réel, les deux exlrémilés du segment (pii le reprt!sente se confondant alors avec ce point lui-même.
'• Deux points A et B, réels ou imaginaires, étant donnés dans "" plan, on peut, comme on vient de le voii*, délerminer facilement et sans ambiguïté le carré de la distance AB.
Q"ant à la distance AB elle-même, elle n'est déterminée qu'au ^'8"^' près; ou, si Ton veut, Targument de la (pianttté imaginaire qni exprime sa valeur n'est déterminé qu*à un multiple près de iz.
Ln segment de droite isolé ne peut, en effet, comporter par lui-même aucun signe; mais, quand il se trouve sur une droite tielerminée, réelle ou imaginaire, et quand on a préalablement fixé le sens que l'on est convenu de regarder comme positif sur cette droite, le segment a lui-même une valeur bien déterminée.
^est à la détermination de cette valeur que je consacrerai la 'eoon suivante.
!.. - II
