SUR L'EMPLOI DES IMAGINAIRES EN GÉOMÉTRIE

Aouveiles Annales de .Mathématiques; 1870.

I. — Considérations générales sur la représentation des points imaginaires situés sur une courbe donnée.

1. L*emploi des imaginaires en Géométrie ne donne lieu à aucune difficulté sérieuse. Les notions essentielles sur lesquelles il repose sont immédiatement fournies par la Géométrie analytique, et trouvent en elle leur entière légitimation. Ces notions puisées dans l'analyse, le rôle de la Géométrie est de les développer et d'en poursuivre les conséquences parles moyens et avec les ressources qui lui sont propres.

Il y a deux points sur lcs(|uels il semble nécessaire de compléter la théorie. U^une part, on ne sait pas toujours rea/i^er et effectuer les constructions où entrent des données imaginaires, en sorte que certains problèmes, dont la considération des quantités imaginaires fournit une solution très simple et presque immédiate, ne sont en quelque sorte résolus que théoriquement, les constructions auxquelles conduirait le mode de démonstration employé n'étant pas immédiatement réalisables.

D'autre part, lorsque, dans une proposition, certaines parties de la ligure deviennent imaginaires, la proposition donne lieu à plusieurs théorèmes relatifs aux éléments n'«îls de la ligure. Toul

(•) Je me propose de développer, dans cette série d'articles, quelques points de la théorie des sections coniques que j'ai laissés de cùté dans le Cours que j*ai professé à la salle Gcrson. Le lecteur pourra consulter sur ces questions diverses Notes que j'ai publiées dans le Bulletin de la Société philomathique (iSQ-^-iSùg)^ et ma Note Sur l'emploi des imaginaires dans la Géométrie de l'espace insérée dans le journal L'/nstitut (18 mai 1870).

SUR l'emploi des imaoinaires en géométrie. 99

théorème exprime, en effet, une relation entre les données, relation que Ton peut représenter par l'équation

si quelques-unes des données deviennent imaginaires, Téquation précédente peut se mettre sous la forme

ce qui entraîne les deux équations

P = o et Q = o,

équations qui, évidemment, sont l'expression de deux théorèmes relatifs aux éléments réels de la figure.

Pour résoudre complètement les questions que soulève l'emploi des imaginaires en Géométrie, il faut donc pouvoir, d'une proposition où certains éléments sont imaginaires, dégager, par une voie purement géométrique et la considération seule de la figure, les propositions réelles qu'elle comprend dans son énoncé.

On pourrait presque, à certains égards, dire que la Géométrie en est actuellement au même point où serait l'Anal} se, si l'on se contentait de montrer que toute quantité imaginaire peut être

mise sous la forme

a -f- biy

sans indiquer les moyens que Ton doit employer pour la réduire à celte forme.

2. Considérons, dans un plan réel, une droite 0(o que nous prendrons pour l'axe d'un système de coordonnées isotropes ; considérons en même temps un syslèine de coordonnées rectangulaires ayant pour axe des x la droile 0(o, Taxe des^ étant la perpendiculaire élevée en O à la droite 0(o.

Soit A un point du plan, réel ou imaginaire, et soient

j|, Y ^ rj i

ses coordonnées isotropes.

Ce point sera représenté dans le plan par un segment rcprésen-

100 OKUMKTRIK.

tdilif aa', iWIgine a de ce segment étant le point réel situé surU droite isotrope du premier système qui passe par A.

Kn coordonnées rectangulaires, Péqualion de celle droite 6st

d'où Ton voit innnédiatcment que les coordonnées reclangula'**^*

du point a sont

T = 7, et r — fl.

L'exïrémilé a du segment e.^l le point réel situé sur la droite i^^' irope du second système passant par A; cette droite a pour é(| *"^' lion

donc le point a' a pour coordonnées

./■ = •' cl 1= — 0 :

d'où cette conclusion :

Étant donne un point A dont 1rs rot r Ion née s isotropes soi^ *

Il — 2 — i / ,

r origine de son segment représentatif a pour coordonnées rec-

tangulaires

et les coordonnées de lU*xtrémité de ces segments sont

On peut dire, si Ton veut, que, dans \v mode de rcpréscntalion cnij)lové p«nr Cancliy, Torigine du segment représente la quantité u =^aL-i- fJ/, cL que Tcxlrémilé rcprésenlr la cpiantilé v — ùi conjuguée de la coordonnée tr.

;{. Jusqu'ici nous ne nous sommes occupés (pie de points distribués d'une façon quelconque dans le plan. Supposons maintenant que nous considérions des poinl^^ situés sur une courbe donnée (C),

SUR l'emploi des imaginaires en géométrie. 101

dont réqualion en coordonnées isotropes soit

Un point réel a, pris arbitrairement dans le plan, pourra toujours être considéré comme l'origine d'un segment représenlatif d'un point situé sur la courbe.

Soient, en effet, a et ^ les coordonnées rectangulaires de ce point; faisons, dans l'équation (i), /^=a-|-j3/; cette équation, résolue par rapport à ir, nous donnera pour cetle variable un certain nombre de valeurs; ce nombre étant, en général, égal au degré de la courbe, mais s'abaissiint lorsque la courbe passe par les ombilics.

Soient y -+- o/, Y '^ ^''> • • • '^^ différentes valeurs de w qui correspondent ainsi a la valeur donnée de //; il est clair, d*après ce qui précède, que si Ton construit les points dont les coordonnées' rectangulaires sont respectivement v et — 8, y' et — 8', . • ., ces points, que je désignerai par n'y a'\ . . . , pourront être considérés comme les extrémités d'aulant de segments représentatifs de poinis situés sur la courbe, l'origine commune de ces segments étant le point a.

Pour abréger, je dirai que ces points^/', a\ . . . sont associés an point cr; si, d*ailleurs, la courbe est réelle (et ici, comme dans la suite, j'entends simplement par là une courbe dont l'équation en coordonnées rectangulaires est réelle), cette courbe ne peut contenir un point sans contenir aussi le point qui lui est imaginaircinent. conjugué : donc, dans ce cas, si a' désigne l'un quelconque "^5 |:>oints associés à un point donné a, a est aussi l'un des points

*• - Pour étudier complètement une courbe, il importe de recheidie^* comment sont distribués dans le plan les segments représenlaii f^ jçj. divers points situés sur une courbe, ou, en d'autres ï^^ri^-^es, comment se déplace l'extrémilé du segment représentaîif ^ *• ^'^ point de la courbe lorsque son origine se déplace elle-mémo J»«^>>leplan.

ÏJivers géomètres allemands se sont occupés de la façon dont ou pt^Uvait représenter les points imaginaires d'une courbe, et ont c^is à ce sujet des idées qui ont été reproduites par M. Transon

{Application de r Algèbre directii'C à la Géométrie; Nouvelle^ Annales de Mathématiques, i8t)8).

L'équdlloQ d\ine courbe en coordonaées rectangulaires étaoC

cl i, 7t élanl un des systèmes de solutions communes de celte équation, on représente, diaprés la méthode de Cauchy, les quaalités \ et Tt par deux points a et /;. Ces deux points déterminent, on cfTet, parfaitement le point de la courbe, et le mode de relation (|ui existe entre eux caractérisa» très bien cette courbe.

Mais on peut faire à cette solution les reproches suivants :

i*^ Un point réel de la courbe est toujours (si Ton excepte les points qui se trouvent sur Taxe des x) représenté par un couple (le points séparés ;

2" Le mode de représentation varie suivant le système d'axes que l'on a choisi.

Ce dernier inconvénient suffirait seul à faire rejeter en Géométrie ce mode de représentation; comme l'a très bien dit M. Transon, Téquation proposée ne représente plus, à vrai dire, une courbe comme dans le système de Descartes, mais un mode de transformation dont les propriétés se rattachent à celles de la courbe.

L'emploi du segment représentatif, défini comme je Tai dit plus haut, remrdic à tous ces inconvénients. En employant l'équation en coordonnées isotropes de la courbe et en représentant chaque couple de solutions (f/, w) de cette é(|uatiom par les points réels du plan, qui, dans la méthode de Cautrhy, représentent la quanti lé u et la quantité imaginaire conjuguée à (r, on voit :

I" Qu'un point réel de la courbe est représenté par ce point lui-même;

:>." Qu'un point imaginaire est toujours représenté parle même segment, quels que soient les axes auxquels on ait rapporté la figure.

Kn réalité, ces axes ne jouent aucun rôle dans la question; l'élude de la distribution dans h; plan des segments représentatifs des points d'une courbe est une étude de parc géométrie; et si, dans un grand nombre de questions, on peut avoir intérêt à se seryir de l'analyse et à faire intervenir des axes coordonnés, les

SUR l'emploi des imaoinaires en géométrie. io3

résultats sont toujours îndépendanls du choix de ces axes, et leur emploi est par là même facilité.

Poar éclaircîr ce qui précède, je mentionnerai ici immédiatement quelques propositions très simples et que Ton peut facilement démontrer par les considérations de la Géométrie les plus élémentaires. J'aurai lieu plus tard d'en développer les conséquences.

I** Élanl donné un cercle réel, pour qu'un segment ad représente un point situé sur ce cercle, il faut et il suffit que les points a et rt soient réciproques par rapport à ce cercle;

t Etant donnée une ellipse réelle, pour qu'un segment aa! représente un point situé sur cette ellipse, il faut et il sufiit que les deux points a et a! soient situés sur une hyperbole homofocale à Tellipse, et que la droite aa' soit parallèle à Tune des normales que l'on peut mener à l'ellipse aux points où elle est coupée par l'hyperbole.

Ces notions peuvent être encore présentées d'une façon plus nette et plus précise; mais comme leur développement m'éloigneraitun peu du sujet que je traite ici, je renverrai le lecteur à ma ^ote Sur remploi des imaginaires dans la Géométrie de l'espace,

0. Lorsqu'un point est assujetti à demeurer sur une courbe donnée (C), on peut fixer sa position simplement par celle de 'ongineue son segment représentatif.

Celle origine correspond, il est vrai, à plusieurs points de la courbe^ en la désignant par a et en désignant par a', a", . • . les divers points associés à a, on voit en effet que (a, a'), (a, a!')^ ... «désignent tous des points de la courbe, représentés par des seg- 'nenls ayant pour origine le point a.

l^i^s donc que l'on se donne le point a, on ne détermine pas complètement le point de la courbe qu'il représente. Celte indéter- "™'naiion peut être, comme on le sait, levée de plusieurs façons.

^nsidërons, avec Cauchy, un des points associés au point a, et ^^'^o ce poinl, en sorte que (a, a') désigne un des points de la courbe; si Ton admet que le point a se déplace en décrivant une courbe continue sans jamais passer par audun des points auxquels correspondent deux points associés confondus en un même poinl.

lo4 GÉOMÉTRIE.

l'exti'émilé du segmenl, dont Toiigine sera le point mobile, sera elle-même bien délerminëe sans ambiguïté, si l^on admet que le point de la courbe s^est déplacé lui-même d'une façon continue.

Ces points critiques qui, dans la théorie de Caucliy, jouent un rôle fondamental, sont, il est facile de le voir, les points singii^ liers et \es foyers de la courbe.

Si Ton suppose que le point 6r, représenlatif du point variable de la courbe, se meut dans un contour ne comprenant aucun des foyers ni des points singuliers de la courbe, le point de la courbe qu'il représente est parfaitement déterminé. Dans le cas contraire, pour savoir quel point il représente, il faut connaître te chemin qu*il a suivi dans son déplacement depuis sa position initiale.

On peut encore lever Tindélermination en supposant, avec Riemann, que le plan se compose d'une série de feuillets superposés. Ainsi, un point quelconque d'une ellipse peut être représenté par un point qui se meut sur deux feuillets appliqués sur le plan de Tellipse et soudés entre eux le long de la ligne qui joint les deux fovers de la courbe.

Au point de vue géométrique, la conception de Iliemann semble préférable à celle de Cauchy; mais, pour le moment, je ne nrélcndrai pas davantage sur ce sujet, qui ne présente d^inlérêt que dans les applications du calcul intégral à la Géométrie.

6. D'après ce qui précède, on voit qu'un point (réel ou imaginaire) situé sur une courbe donnée peut être représenté par un seul point réel de son plan ; ce point est le point réel situé sur la droite isotrope du premier système qui passe par le point donné. Quand le point donné e^^t réel, le point qui le représente se confond avec lui.

Nous pourrons nous représenter le déplacement d'un point sur une courbe, que les poî^itions successives de ce point soient réelles ou imaginaires, par la courbe que trace dans le plan son point représentatif, déterminé comme je viens de le dire.

En général, on peut se représenter la façon dont varie une quantité z en fixant la valeur de cette quantité d'après la position qu'occupe un point mobile sur une courbe arbitrairement choisie du reste.

Lorsque la variable z prend des valeurs imaginaires, la position

SIR L KMPLOI DES IMAGINAIRES EN UKO.MKTRIK. |tt >

du point mobile, qui détermine sa valeur, peut élre, comme je l'ai dit, représentée par un point réel du plan, et la courbe décrite |3ar ce point donne une idée très nette de la façon dont varie z.

Ces considérations se prêtent aisément à Tapplication du calcul i Dlégral à la Géométrie.

Concevons en eflet une courbe algébrique (C) et une intégrah* dans laquelle la variable soit représentée par la position d'un |}oint mobile sur cette courbe^ supposons, par exemple, que i'élé- Mnent de Tintégrale soit de la forme

Pc/s,

^ désignant un élément de la courije et P une fonction dont la valeur ne dépend que de la position du poini sur la courbe et nullement des axes auxquels on peut la rapporter.

On comprendra facilement que, pour étudier cette intégrale, il soit avantageux de considérer la variable comme représentée par la position d*un point mobile sur la courbe, au lieu de la représenter par la position d*un point mobile sur un axe auxiliaire que Ton introduit arbitrairement et sans qu'il joue un rôle quelconque dans la (piestion.

Les intégrales géométriques dont je viens de parleront un sens parfaitement net, indépendamment des axes auxiliaires que Ton peut employer pour la l'acililé des calculs; il est donc essentiel de pouvoir les traiter d'une façon purement géoméirique, ou du nioins, si Ton est obligé, dans l'emploi de l'analyse, à se servir (l'axes coordonnés, d'employer un système de coordonnées qui laisse en évidence ce caractère g«'ométrique des intégrales. C'c>l à quoi l'on parviendra par Temploi des coordonnées isotropes.

Il résulte, du reste, des beaux travaux de Riemann et de M. Clebscb, que ces intégrales géométriques comprennent toutes les intégrales d'origine algébrique.

Les considérations qui précèdent sont, au fond, le développement des idées de Caucby. L'illustre géomètre fixe la valeur de la variable par la position d'un point sur une ligne droite; lorsque ce point est imaginaire, il le représente comme nous par le poinl réel situé sur la droite isotrope du premier système que l'on peut mener par le point donné.

A chaque courbe, comme Ta montré M. Clebscb, se rattachent

un certain nombre d'intégrales qui jouent un rôle des plos importants dans la théorie de celte courte; il semble donc naturel, pour étudier ces intégrales, de fixer la valeur de la variable parla position d^un point mobile sur cette courbe elle-même.

II. — Représentation des points situés sur une droite donnée.

7. Considérons une droite réelle ou imaginaire tracée dans uKi plan. Supposons- la rapportée à un sj'stème de coordonnées îso — tropes, vi soit Ow Taxe des coordonnées. Soit A un point mobile (le la droite dont les coordonnées soient

romnic jo Tai montré ci-dessus, les coordonnées de l'origine a etde Textrémité (t' du segment représcntalif de A seront respective-^ ment

X — at, r = 3,

Soit a" le point symétrique du point a' par rapport à Taxe Oco, <os coorilonn«»es soroni

on sorte que, si nous adoptons pour un instant le langage de TAIi^èbro directive, les longueurs Oa et Oa" représenteront les doux ooonlonnt*e< tt et a*.

l'os coordonnées sont liées entre elles par une relation linéaire que Ton piMit mettre sous la tornie suivante :

%i- —. rr^\ u ^^ m,

r ol 6 ét;int doN quantités réelles et m une quantité imaginaire. Le \eoleur Oii' peut donc se déduire de Oa au moven des trois opérait ion< sui\ante< :

r' K« uiullipliânl le \ecleur Oii par Li quantité réelle r: cette opération u pour but de dilater lou< les vecteur» dans un rapport ooDSiaiil* eu >orte qu*aprt^> ropèralion la tigure formée par les poinU <i' est iiomotliélique à celle formée par i«r$ points a;

Srn L EMPLOI DES IMAGINAIRES EN GEOMETRIE.

aa^ cl

2° £n multIplIaDt le résultat obtenu par e^'; l'opération a pour résultat de faire tourner la figure précédemment obtenue autour du |îoial 0 de l'angle 6;

S'' En ajoutant au deuxième résultat obtenu la quantité m; le résultat de l'opération est de transporter la figure parallèlcmenl à elle-même.

D'où celle conclusion :

La figure formée par les points a et la figure formée par les points a!' sont deux figures directement semblables.

Remarquons maintenant que la figure formée par les points a' est symétrique par rapport à l'axe 0(o de la figure formée par les points a', a".

D'où celle conclusion :

Si un nombre quelconque de segments représente des points situés sur une même ligne droite, le polygone formé par les origines de ces segments et le polygone formé par leurs extrémités sont deux polygones semblables et inversement placés.

Deux points suffisant pour déterminer une droite, la réciproque de celle proposition est évidemment vraie.

0. Les considérations qui précèdent mènent facilement à la solulioD de divers problèmes très simples que l'on peut se proposersuries droites, mais que je développerai avec quelques détails, parce qu'ils me seront utiles par la suite.

PROBLÈME I. — Une droite étant définie par deux points \^)^') et (6, b'); étant donné un point réel quelconque du pian, sien le considère comme l'origine du segment représen- ^^fif d\in point de la droite, trouver son extrémité.

^^*t c le point donné; on construira le point c' tel que le ""'^Dgle a!Vd soit semblable au triangle abc et inversement placé ; lepoinic' sera le point demandé.

'•^OBLÈME II. — Une droite étant définie par deux points (^» Q ) et (6, 6'), trouver le point réel situé sur cette droite.

^oil X le point cherché; ce point étant réel, le segment qui le

I08 GKOMKTRIE.

représenle est xx : les deux triangles xab el xo!V doivent donc être semblables el inversement placés.

Consiriiisons le cercle lieu des points dont les distances à a el </ soient dans le rapport de ab à a! U \ construisons le cercle lieu des points dont les distances À b elb' soient dans le même rapport. Ces deux cercles se coupent en deux poinis réels x' eix"; on choisira celui de ces deux points qui, joint aux points (a, b) el {a', 6'), donne deux triangles semblables inversement placés.

Problème HI. — Une droite étant définie par deux points (rt, a') et (6, //), et une autre droite étant définie par deux autres points (a, a') et (jî, ^'), trouver leur point de rencontre.

Déterminons les extrémités des segments qui représentent des poinis de la deuxième droite et ont pour origine les points a et b (problème 1); soient {f et b" ces extrémités: soit (j:, xf) le point d'intersection cberché.

Les points (a, (i')y (b, &'), (x, x') étant en ligne droite, les triangles abx et a'b'x^ sont semblables el inversement placés.

Les points («, «"), (6, 6"), (x, x') étant aussi en ligne droite, les iriangles abx cl c^b" x' sont aussi semblables el inversement placés.

Donc les triangles a' b' x' et a^ b" x* sont semblables et semblablemenl placés. On construira les deux cercles lieux des points dont les dislances à a' el a"^ el à b* et //' sont dans le rapport (!e a' b' à a" b" . Ces deux cercles se couperont en deux points réels: on choisira de ces deux points celui qui, joint aux points (a', b'^ et [a" y //'), donne deux Iriangles semblables el semblable ment placés. Ce point sera le point a?'; au mojen du problème I, on en déduira le point .r.