DANS LA GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE

Bulletin de la Société philomathifjue; x^-o.

I. On sail, depuis les travaux de Poncelel, que tous les cercles tracés dans un même plan passent par deux points fixes imaginaires situés sur la droite de Tinfini. Je désignerai par I et J ces deux points remarquables que, dans une Note publiée dans les Comptes rendus (janvier i865), j'ai proposé de nommer ombilics du plan. J'appelle droite isotrope toute droite du plan considérr qui passe par Tun des points I et J; Tenscuible de ces droites forme deux systèmes bien distincts, l'un composé de droites parallèles entre elles et passant par le point I, l'autre de droites également parallèles et passant par le point J.

Par tout point d'un plan passent deux droites isotropes de systèmes différents, dont l'ensemble forme un cercle de rayon nul. Dans un plan réel, toute droite isotrope renferme un point réel et n'en renferme évidemment qu'un; c'est le point où elle coupe la droite isotrope qui lui est imaginairement conjuguée (').

Si, par un point fixe, réel ou imaginaire, on mène divers plans, chacun de ces plans contient deux droites iî>otropes passant par le point fixe. Les droites ainsi obtenues sont situées sur un ujême

( ' ) Je dis que deux points sont imaginairement conjugués, l()rs(|uc leurs coorfiiinnées, prises par rapport à un système d'axes réels quelconque, sont d<-s quantités imaginaires conjuguées. Un point réel est à lui-même son conjugué.

I>eux courbes sont imaginairement conjuguées, lorsque les équations de chacune d'elles se déduisent des équations de l'autre en changeant le signe du symbole imaginaire <.

Une courbe réelle est à elle-même sa propre conjuguée.

côoe du second degré, que l^on peut aussi considérer comme une sphère de rayon nul ayant pour centre le point fixe et qui jouit de toutes les propriétés de la sphère. Ainsi, par exemple, toute seclion plane de ce cône est un cercle, et le centre du cercle est le pied de la perpendiculaire abaissée du sommet du cône sur le plan.

Je désignerai sons le nom de cône isotrope le cône ainsi formé par toutes les droites isotropes qui passent par un même point. Tous les cônes isotropes coupent le plan de Tinfini suivant une même conique, commune à toutes les sphères tracées dans l'espace et que Ton peut appeler Vonibilicale.

Par une droite, on peut généralement mener deux plans tangents à Tombilicale; j'appellerai ces plans plans isotropes. Le couple de plans isotropes, passant par une droite donnée, est coupé par un plan perpendiculaire à celte droite suivant deux droites isotropes. Par une droite isotrope, on ne peut faire passer qu'un seul plan isotrope, puisque celte droite coupe le plan de Tinfini eu un point de Pombilicale.

â. Ces définitions établies, concevons un point imaginaire de l'espace, a et le point a' qui lui est imaginairement conjugué. Pwr chacun de ces points passe un cône isotrope; les deux cônes ainsi obtenus se coupent suivant un cercle réel A, dont le plan est perpendiculaire à la droite réelle qui joint les deux points imaginairement conjugués a et a' \ le centre de ce cercle est le point réel O, qui est le milieu du segment aa! et la distance Oa étant lejjrésentée par R/, son rayon a pour valeur la grandeur réelle R.

il est clair que les deux points imaginaires a et a' déterminent complètement le cercle A; réciproquement, étant donné le cercle réel A, par ce cercle on ne peut faire passer que deux côues isotropes dont les sommets sont les points a et a , La position de ce cercle dans l'espace détermine donc complètement ces deux points.

Je dirai que le cercle réel A, ainsi déterminé, est le cercle représentatif àyx couple de points imaginaires a et a', couple (|ue je désignerai par la notation (A); réciproquement, le cercle A, déterminé comme précédemment par les deux points a et a', sera désigné par la notation (^i, a').

Le cercle A ou (a, a') représente ainsi l'ensemble des deux

SUR l'emploi des imaginaires dans la géométrie dans l'espace. III

points imaginaires conjugués a et a'; dans certaines questions, il est nécessaire de pouvoir distinguer ces deux points l*un de l^autre. A cet effet, l'on peut imaginer que le cercle A soit décrit dans un certain sens par un point mobile; le sens dans lequel il sera supposé décrit déterminera celui des deux points a et a dont il sera la représentation. AGn de fixer les idées, supposons que dans un système de coordonnées quelconque, mais d'ailleurs réel, les coordonnées d'un point m soient respectivement

le sens dans lequel on supposera décrit le cercle représentatif du point m sera tel qu'un spectateur, ayant l'œil placé à l'origine des coordonnées, voie le point mobile, décrivant le cercle, se mouvoir dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre ou en sens inverse, suivant que la quantité (aa 4- 6p H- cy) est positive ou négative.

Il est évident d'ailleurs que si cette quantité a un signe donnr pour le point a, elle aura le signe contraire pour le point imaginairement conjugué m'.dont les coordonnées sont

3. Dans la plupart des recherches de géométrie, l'on a à considérer, par couples, des points réels ou qui ne sont pas imaginairement conjugués. J'étendrai à ces cas les notions établies précédemment. Ainsi a et b désignant deux points quelconques de l'espace, je désignerai par (a, b) le cercle qui résulte de l'intersection des cônes isotropes ayant pour sommets ces deux points; ce cercle sera généralement imaginaire et ne deviendra réel que dans le cas, examiné précédemment, où les points considérés sont imaginairemenl conjugués. De même, C désignant un cercle quelconque de l'espace, je dénoterai par le symbole (C) les deux points qui sont les sommets des cônes isotropes passant par c(.> cercle.

4. Considérons dans l'espace une courbe géométrique quelconque, réelle ou du moins (pour le moment, je me restreindrai à ce cas de beaucoup le plus intéressant) définie par des équations réelles; c'est-à-dire telle que, lorsqu'elle passe par un point

lia GKOMKTIUK.

imaginaire, elle passe égalemenl par le point imaginairemeot ^7^^°* jiigué.

Etanl donné un cercle réel de Tespace, ce cercle représenl^ *"* couple de points imaginairenient conjugués; el, pour que ^^ points apparlicnnenl à la courbe donnée, il est nécessaire que '^ cercle satisfasse à crrlaines conditions déterminées par la nature (li; la courbe et dont l'étude forme, pour ainsi dire, un prolonge" ment géométrique de la théorie de celle courbe elle-même. Pour (M hiiroir ces considérations générales et montrer les diverses questions auxquelles elles se rattachent, j'en lerai tout d'abord, el avec rpielques détails, l'application aux courbes gauches qui résultent de l'interseclion d'une sphère et d'une surface du second ordre, (Ml m'appuyant sur les propriétés connues des surfaces anallagmatiques.

5. M. Moutard a appelé surfaces aiuilUignuitiques du qua^ trième ordre des surfaces qui peuvent être legardées comme Ten- \cloppc de sphères mobiles qui coupent orthogonalemenl une sphère fixe, tandis que leurs centres décrivent une surface du second degré; dans tout ce qui suit, je les désignerai simplement sous le nom de surfaces anallagmaiiques ; leur degré, qui esl, en général, le quatrième, peut d'ailleurs s'abaisser au troisième, lorsque la surface lieu des centres des sphères mobiles esl un paraboloïde, el même au second, puisque les surfaces du second degré sont comprises dans la famille des surfaces anallagmatiques.

La définition donnée ci-dessus peut être légèrement modifiée (le la façon suivante. Klant donnés une s[)hère fixe S el un plan <jiieIcon(|ue V coupant cette sphère suivant un cercle C, on penl, par ce cercle, faire passer deux cônes isotropes. Soient/? et />' les sommets de ces cônes; ces deux points, qui, d'après ce (|ue j^ai illl ci-dessus, pourraient être représentés parla notation (C), sonl iécipro(jues par rapport a la sphère S; pour abréger le discours, je dirai que ces deux points sont associés au plan P el réciproqueiiiont que le plan P est le plan associé aux points/? et/?' (').

Cela posé, on peut détinir une surlace anallagmaliquc donnée K,

(') \i»ir linllelin de la Socictc /t/til<t/na//iif/m' < iiiai> iN^S), ma Noie sur les i>ccli(>iis ciioultiires ile< surfiiccs iiiiulliigii)alique<>.

SUR l'emploi des imaoinaires dans la géométrie dans l'espace. ii3

comme le lieu des poinls associés, par rapport à «ne sphère fixe S,

des diflorenls plans que Ton peut mener tangentiellement à une

surface du second degré A. L'intersection des surfaces S et A est

une biquadratique F qui est Tune des cinq focales de la surface;

les quatre autres focales correspondant aux quatre autres modes

de génération dont la surface est susceptible ('). En chaque*

poinl m de la surface anallagmatique, la normale passe par le

point où le plan associé au point m touche la surface A.

Soit G une génératrice recliligne de celte dernière surface, et soient rt, a' les points où celte génératrice s'appuie sur la focale F, L'on voit facilement que, tandis que le plan mobile qui sert à décrire la surface se déplace le long de la droite G en tournant auloiir de cette droite, les points associés au plan tangent dans ses diverses positions décrivent un cercle; et ce cercle est précisément l'intersection des deux cônes isotropes ayant pour sommets les points a et a', cercle que nous pouvons désigner par la notation («, a'). A chaque génératrice rectiligne de A correspond donc une génératrice circulaire de 11; et, comme chacun des plans tangents à la surface A passe par une génératrice rectiligne de même système que G, l'on voit que la surface anallagmaliqùe peut être considérée comme engendrée par les différents cercles correspondant aux génératrices du même système que G. Aux génératrices reclilignes de A, du système différent de celui de G, correspond un autre système de sections circulaires de R; les deux systèmes ainsi obtenus forment un groupe de cercles que, pour plus de clarté, je dirai appartenir au mode de génération défini par la focale F, ou simplement à la focale F. A chacun des quatre autres modes de génération de la surface correspond un autre groupe de cercles situés sur la surface et appartenant à la focale définissant le mode de génération considéré. L'on peut donc définir, de la façon suivante, les surfaces anallagmatiques au moj'cn de leurs sections circulaires.

Étant donnée une biquadratique sphérique F, si l'on fait passer par cette courbe une surface du second degré quelconque et si, pour chaque génératrice rectiligne d'un système donné de cette

(*) Voir dans le Bulletin de la Société philomathique (janvier 1868) ma Note sur quelques propriéléâ des surfaces anallagmaliques.