L - II. s

Il4 GÉOMÉTRIE.

surface, on construit le cercle qui résulte de rinterseclion des cônes isotropes ajant pour sommets les points où cette génératrice s^appuie sur la courbe, le lieu des cercles ainsi obtenus est une surface anallagmatique ayant F pour focale; et le système formé par ces cercles appartient à cette focale.

6. Dans ce qui précède, je n'ai fait aucune hypothèse sur la nature de la surface A, non plus que sur sa position relative par rapport à la sphère S. Les génératrices reclilignes de A peuvent être imaginaires, ou bien, étant réelles, elles peuvent traverser la sphère et la couper en deux points réels. Dans ces deux cas les sections circulaires correspondantes de Fanallagmatique sont imaginaires. Pour qu'un cercle C, correspondant à ime génératrice recliligne, soit réel, il faut et il sufGt évidemment que cette génératrice soit réelle et extérieure à la sphère; elle coupe alors cette sphère en deux points imaginairement conjugués de la focale F, et le cercle C est ce que j'ai appelé le cercle représentatif de ces deux points.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

LorsqiCun système de sections circulaires dUtne surface anallagmatique y appartenant à une focale F de cette surface, est réel, les points imaginaires représentés par ces cercles sont situés sur la courbe F.

Si l'on imagine toutes les surfaces anallagmatiques qui ont pour focale une biquadralique sphérique donnée F et toutes les sections circulaires réelles de ces surfaces qui appartiennent à F, on obtiendra ainsi les cercles représentatifs de tous les points imaginaires de la courbe F. En effet, si un cercle C représente un point imaginaire de F, la droite réelle qui joint les points imaginaires (C), détermine avec la courbe F un hyperboloïde à une nappe, et cet hjperboloïde détermine une surface anallagmatique avant F pour focale et passant par le cercle C. D'où la conclusion suivante :

« Pour qu'un cercle réel représente un couple de points imaginaires situés sur une biquadralique sphérique donnée F, il faut et il suffit que ce cercle soit situé sur une surface anallagmatique ajaiit F pour focale et qu'il appartienne au mode de description caractérisé par cette focale. »

SUR l'emploi des imaqinaires dans la géomkthie dans l'espace. iiS

7. La façon dont j^ai défini, § 5, les surfaces anallagmatiques, au inoyen de leurs seclions circulaires, s'étend d*elle-même au cas où ces surfaces ont un plan de symétrie ; dans ce cas, l'une des sphères principales se réduit à un plan, ainsi (jue la surface du second degré correspondante, et les d«Minitions que j'ai données j)récédemmenl, la définition comme enveloppes de sphères et la définition par points, deviennent illusoires. Mais, avant d'aborder ce sujet, il est nécessaire d'exposer quelques considérations très simples sur la transformation des figures par rayons vecteurs réciproques.

Etant donnés un point quelconque a, réel ou imaginaire, et le cône isotrope ayant ce point pour sommet, il est clair que, par une transformation quelconque par rayons vecteurs réciproques, ce cône isotrope se transforme en un autre cône isotrope ayant pour sommet le point qui correspond au point a. Si donc l'on a deux points quelconques a et 6, au cercle (a, 6) correspondra, après la transformation, le cercle (a, ^), a et ^ désignant les points qui correspondent aux points a et b.

Imaginons une surface anallagmatique comme le lieu des différents cercles (a, «/), (6, 6'), (c, r'), . . . déterminés par les points où les génératrices d'une surface du second ordre aa', bV s cc\ . . . s'appuient sur un biquadratique sphérique F et effectuons sur cette figure une transformation par rayons vecteurs réciproques. La courbe F se transformera en une autre biquadratique sphérique 4>; sur cette courbe <ï>, aux points a, «', 6, b' y ... correspondront des points (a, a'), (p, p'), ..., et la surface transformée de la surface donnée sera le lieu des cercles (a, a'), (6, 6'), .... D*où l'on peut, en passant, tirer cette conséquence, que les droites aa', p^', yy', ... sont, comme les droites aa\ bb' . cc\ ..., les génératrices d'une même surface du second ordre.

Considérons maintenant une biquadratique sphérique F et une surface du second degré quelconque A, passant par cette courbe. Toutes les génératrices d'un même système de A, telles que a(t\ peuvent être obtenues en choisissant arbitrairement une génératrice ss' de l'autre système et en menant des plans par cette dernière génératrice. Ces divers plans couperont la sphère suivant des cercles passant par les deux points fixes s et s' et chacun de ces cercles coupera la courbe F en deux points variables a et a'

Il6 OKOMÉTRIE.

situés sur une même généralrice de A; le lieu des cercles (a, a') est Tanallagmalique définie par la surface A el la focale F ; on peul donc énoncer la proposition suivante :

Si, par deux points Jixes s et s\ d^une biqiiadratique sphévique F, on mène un cercle variable rencontrant la courbe F aux deux points a et a', le lieu des cercles (r/, a') est une sur- Jace anallagmatique ayant F pour focale.

Transformons maintenant la figure précédente en prenant le pôle de traiisforniiilioii sur la sphère qui contient la courbe F; In surface anallagmatique donnée se transforme en une surface anallagmatique ayant pour plan de symétrie le plan qui correspond à la sphère. La focale F se transforme en une anallagmatique plane <P sur laquelle se trouvent les deux points t et t' correspondant aux points s el s'\ et Ton obtient la proposition suivante :

Siy par deux points fixes t et t' d'une anallagmatique plane <ï>, on même un cercle variable coupant la courbe O aux points a et t! ^ le lieu des cercles (a, a) est une surface anal-lagmalique ayant pour plan de symétrie le plan de la focale O.

Le second système de sections circulaires appartenant à la focale ^ s'obtiendrait facilement; en effet, étant mené par a- et par 7' un cercle quelconque coupant la focale en deux points a et a'; si, par ces deux derniers points, on mène un cercle variable rencontrant O aux points p et p', les différents cercles tels que (0, 0') constitueront ce second système de sections circulaires.

Les plans des différents cercles tels que (a, a') ont pour trace, sur le plan de la focale ^, les perpendiculaires élevées sur les segments aa' en leur point milieu. Toutes ces perpendiculaires, il est facile de le voir, enveloppent une conique ayant pour foyers les foyers singuliers de Tanallagmatique ^ (*). D'où Ton peut conclure que quand une série de surfaces anallagmatiques a pour focale commune une anallagmatique plane, les traces des cylindres enveloppés par les plans des cercles de ces surfaces apparte-

(') Voir dans les Comptes rendus (janvier i863) ma Note intitulée : ThéO' rentes généraux sur les courbes, etc»

SUR l'emploi des lmagixaires dans la géométrie dans l'espace. 117

ant à celle focale, sur le plan de symélrie, sodI des coniques omofocales aj'ant pour foyers communs les foyers singuliers de la focale.

8. La proposition précédente n'est, du resle, qu'un cas parlicu- I îer d'un théorème relatif aux anailagmatiques en général et que l ""on peut établir très simplement.

Considérons une surface anallagmatique quelconque R, ayant (lour focale une biquadratique sphérique F. Les plans des divers <:ercles de la surface, appartenant à cette focale, enveloppent un c:ône ayant pour sommet le centre de la sphère S, sur laquelle est située la focale; et ces plans sont perpendiculaires aux diverses génératrices de la surface du second degré A passant par la focale C|ui détermine la surface R. Pour trouver les droites focales de ce cône, je rappellerai que ces droites sont les intersections des divers plans isotropes qu'on peut lui mener langentiellemenl. Or, les perpendiculaires à un plan isotrope, touchant Yombilicale en un point donné (o, sont les diverses droites isotropes passant par ce point; aux. plans isotropes tangents au cône correspondent donc (les génératrices isotropes de A, et réciproquement. Une génératrice isotrope de A doit percer le plan de l'infini en un point de l'ombilicale, et aussi en un point de la trace de la surface A sur le même plan. Soit Q l'ombilicale et a, 6, c, d les quatre points où celte courbe rencontre la focale F; la surface A, passant par cette locale, sa courbe d'intersection avec le plan de l'infini est une conique passant par les points a, 6, c, rf, et il est clair que les génératrices isotropes de A sont les huit génératrices passant par ces quatre points. Les traces, sur le plan de Tinfini, des quatre plans qui leur sont perpendiculaires et qui passent par le centre «le la sphère sont les quatre droites menées tangentiellement à I ombilicale par les quatre points «, 6, c, d\ les focales du cône sont donc les six droites conjuguées deux à deux qui joignent le centre de la sphère aux divers points d'intersection />, ^, r, s, t, u des quatre tangentes. On voit que ces focales sont complètement déterminées par la focale F et ne dépendent en aucune façon de la surface particulière A. On peut donc énoncer cette proposition :

Si Von considère une série de surfaces anallagmatiques homofocales, et si, pour chacune de ces sur/aces, Von con-

llH GEOMETRIE.

stiuit le cône enveloppé des cercles appartenant à Cune de /ocalt'Sy tons les cônes ainsi obtenus sont homofocaux,

J'ajoulorai (|iie les focales de ces cônes sont les focales siog'ti' liriT> (les cnnes avanl [lonr base la focale de la surface anallagm^' liiHir ron.sidrréo, el, pour soniniel, le centre de la sphère s«^ la(|U('llr relie ronrlxî est située. Mais, ()Our abréger, je laisse cJ ^ colé la dénionslralion de ce point de détail (*).

i). Je reviens maintenant au mode de description des surfaceanallagmali(|ues à plan de symétrie, donné, § 7, pour montre^ comment il s'appli(pie aux surfaces du second ordre. Ces dernière» s'obtiennent lorsque la locale, (|ui, en général, est une courba anallagmati(|ue plane, se n'duit à une conique. Soit donc un^* conique (|uelcon(|ue C réelle (ou du moins ajant une équatiorB réelle') el n, a deux points fixes pris sur celte conique. Par ce?^ deux |K»ints, menons un cercle quelconque coupant la coniqucr en a et eu i! \ d'après ce qui a été dit ci-dfssus, le lieu des cercles teU que ^x, %\ est une surface du second ordi*e ayant pour focab' ('.. l)*après un théorème élémentaire bien connu, toutes les droites telles que ax" luil une direction lîxe. On peut donc énoncer la proposition suivante qu*il serait Irts simple, d^ailleurs, d'établir directemenl :

vN*/ /\>/i mint\ dans le pltin d^ane conique , une série de droites pitrallèles à une direction fixe D, en désignant para rt a 1rs ileux points d'intersection de la conique ai'ec une qttelcofhfuc tic CCS droit€\<, le lieu des cercles^ tels que y^a. a'), est une sarf\ice itu second ordre avant pour focale la conique donnée.

Suppo>on> que l. soil une ellipse: îm.à^ioons toutes les droites réelles pur»! I< les à une dixùie lîxe D el extérieures à Tellipse: chacune de ces droites reneonlrt* Tellipse eu deux points iuiagîn;jiiivmeul coiijuî^ues, rx*pï« seules par uu cervle réel; tous les

«iiA ^,^ «iiAi> »s^* : Sx- Us ,VN..-.V4t ^'^i^^rx; ,:V .' ;\r^.-TwvXAv« d*umt sphère et

SIR l'emploi des imaginaires dans la oéométrie dans l'espace. 119

cercles réels ainsi obtenus, quand la droite se déplace, conslituenl l'un des systèmes de sections circulaires d'un hjperboloïde à deux nappes ayant pour focale Tellipse donnée. Si le système des droites considère était parallèle à une droite D' faisant avec le grand axe de l'ellipse un angle supplémentaire de l'angle que fait D avec ce même axe, les cercles représentatifs des points d'intersection de l'ellipse avec ces diverses droites constitueraient le second système de sections circulaires de rhyperboloïde mentionné ci-dessus.

Si nous imaginons l'infînité d'hyperboloïdes à deux nappes, qui ont pour focale l'ellipse C, leurs diverses sections circulaires représenteront tous les points imaginaires situés sur cette ellipse. D'oii Ton peut conclure le théorème suivant :

Pour qu* un cercle réel, donné dans Vespace^ représente un couple de points imaginairement conjugués, situés sur une ellipse donnée, il faut et il suffit que ce cercle soit une section circulaire d\in hyperbolohie à deux nappes ayant cette ellipse

pour Jocale.

I^e même :

f^our f/u'un cercle réel, donné dans V espace, représente un coupée de points imaginairement conjugués, situés sur une hyperbole donnée, il faut et il suffit que ce cercle soit une section circulaire d' un ellipsoïde ayant cette hyperbole pour

focrt le.

*0. Il existe, relativement au système de deux cercles situés sur une même sphère, une propriété très simple, qui a de fréquentes applications dans la géométrie de la sphère et dans la théorie des surfaces anallagmaliques. Je vais l'exposer brièvement, en supprimant la démonstration, d'ailleurs très facile à suppléer.

Soient deux cercles C et D situés sur une même sphère, et par conséquent se coupant en deux points. Le cercle C représente deux points de l'espace c et c', qui sont réciproques par rapport à la sphère et que Ton pourrait désigner parla notation (C); le cercle D représente de même deux points réciproques d et d'. Les quatre points c, c', d et d' sont d'ailleurs dans un même plan passant par le centre de la sphère. Cela posé, par les deux cercles donnés, on

l-iO GÉOMÉTRIE.

peiil faire passer deux cônes, el les sommets de ces cônes sonl les deux points de rencontre respectifs des droites cd el (/(f eldes droites cd* et d d.

Supposons les cercles C et D réels; supposons-les, en oalrc. décrits dans un sens déterminé, en sorte que chacun d'eux représente un point imaginaire el un seul; le point c, par exempl^i étant représenté par le cercle C el le point d par le cercle D. *-** droite ima<;inHire crfesl imaginairemeut conjuguée à la droite (!(f ' ces deux droites étant dans le même plan se coupent en un poî^ réel, que Ton peut définir comme étant le point réel situé suret» ' et, d'après ce que j'ai dit plus haut, ce point est le sommet tfa ^ cône passant par C et D. Mais ici. Ton peut ajouter qu'un spectateur, dont l'œil sérail placé au sommet du cône, verrait le^ cercles C et D décrits en sens inverse; en sorte que si le mobile, qui est censé décrire Tun d'eux, lui paraît se mouvoir dans le sens des aiguilles d'une montre, le mobile qui est supposé décrire l'autre lui paraîtra se mouvoir dans l'autre sens.

Celte dernière remar(|ue est souvent utile pour fixer le sens que 1 on doit elVecluer à un cercle représentant un point imaginaire.

Considérons maintenant une surface anallagmatique R, définie par la surface du second degré A el la focale F située sur cette surface, el les deux svslèines de génératrices circulaires de l'anallagmati(|ue appartenant à celte focale. Soit C un cercle fixe de l'un de ces systèmes, représentant deux points c et c de la focale: soit D un cerrie quelcon(|ue de Tau tre svstème, représentant deux points d el d' do la focale. Les cercles C et D sont situés sur une même sphère, et Ton sait d*ailleurs «pie les droites ce el dd' sont deux génératrices, de svstèmes différtMils, de la surface A. D'après ce qui a été dit plus haut, les sommets des cônes qui passent par les oorch'N Ç, et O sont les doux points /• el 5. où se coupent respecti>emonl los droites cif el c d dune pari, les droites cd et c* et irautre pari. Le lieu décrit par los sommets de ces cônes, lorsque, le cercle C élanl fixe, le cercle D se déplace sur la surface R, est donc rinlorsection des deux cônes a\anl pour base la focale F el pour sommets les points c et c\ Cesctuios sonl du troisième degré; leur inlerseciion, qui est du neuvième degré, se compose d'abord de la génératrice cc\ de la focale el du lieu cherché; ce dernier est donc du quatrième ordre.

SUR l'emploi des imaginaires dans la géométrie dans l'espace. 131

D'où Toi) peut conclure la proposition suivante :

Etant prisy sur une surface anallagmaiique, un cercle quelconque appartenant à une focale F de cette surface; par ce cercle et par un cercle quelconque D, du second système circulaire appartenant à cette focale, on peut faire passer deux cônes; le lieu décrit par le sommet de ces cônes, lorsque, le cercle C étant fixe, le cercle D se déplace sur la surface, est une courbe du quatrième ordre faisant partie de r intersection des deux cônes, ayant pour base commune la focale F et pour sommets les deux points de cette focale que représente le cercle C.

H. Dans ce qui précède, j'ai montré comment Ton peut déterminer les conditions géométriques auxquelles un cercle doit satisfaire, pour représenter un cou[)Ie de points situés sur une biquadratique sphérique donnée, en groupant deux à deux les divers points de cette courbe, de façon qu'à l'ensemble de tous les couples de points, corresponde Tensemble des génératrices circulaires d'une surface anallagmatique. Chaque mode de groupement est défini par une surface du second ordre, de telle sorte que deux points quelconques de la courbe, qui se correspondent, se trouvent sur une même génératrice de la surface.

Soit, en général, une courbe gauche géométrique quelconque G ; 'inaginons une surface réglée V, telle que chacune de ses génératrices s'appuie en deux points sur cette courbe. Soient aa\ bb\ cd ^ ... les génératrices consécutives de cette surface; les cercles (a, a'), (6, 6'), (e, c'), . . . engendreront une autre surface, que je dirai dérivée de la courbe G. D'une même courbe donnée. Ton peut ainsi déduire une infinité de surfaces à génératrices circulaires, et chacune de ces surfaces dérivées correspond à un certain mode de groupement des points de la courbe, défini par la surface réglée V.

Lorsque la courbe G est plane, les droites, telles que aa' , bb\ ..., qui joignent les points conjugués de cette courbe, ne forment plus une surface gauche, mais enveloppent une courbe plane, qui peut ainsi servir à définir le groupement des points. Dans ce cas, et lorsque la courbe G est d'un degré supérieur à deux, chacune des tangentes à l'enveloppe plane, rencontrant G

en plus de deux points, il est nécessaire de Oxer ceux des points de renconire que l'on doit grouper ensemble. Pour éviter celle dîfficullé, il est alors généralement préférable de définir chaque couple de points par (Paulrcs considérations ne donnant lieu À aucune ambiguïté*, comme je Tai Tait, § 7, en traitant des sur" faces anullagtnalir|ues à plan de symétrie.

On peut toujours, (Pailleurs, sauf dans le cas très ])arliculier ol^ la courbe plane (j est un cercle, eflectucr une transformation par ra\ons vecteurs réciproques, de façon que cette courbe devieDD? une courbe gauche spliéri(|ue.

Iî2. D'une courbe gauche donnée, on peut, comme je l'ai montré, déduire une iniinilé de surfaces à génératrices circulaires, dérivées de cette courbe.

Hécipro(pieu)ent, étant donnée une surface (pielconque à génératrices circulaires, on peut toujours la considérer comme une surface dérivée d'une certaine courbe gauche G. En désignant par C, C, (J'y . . . les diverses génératrices circulaires de la surface, celte courbe est le lieu des points (G), (G'), (G"), . . . ; et la surface réglée V, qui détermine le mode de groupement des points de la courbe, est le lieu des axes des différents cercles.

13. Parmi Tinlinité de surfaces dérivées d'une courbe gauche G, se trouve en particulier la développabfe isotrope, circonscrite à cette courbe; j'entends par là, la surface développable circonscrite à la fois à l'ombilicale et à la courbe donnée. Tous les points qui lui sont tangents sont, par conséquent, des plans isotropes, et ses génératrices, comme nous allons le voir, sont des droites isotropes.

Soit m un point quelconque de G; pour construire les génératrices de la surface développable isotrope qui passent en ce point, menons la tangente à la courbe en /;«, et soit t le point où cette tanj;ente perce le plan de l'infini. Menons par / les deux tangentes à ronibilicale 12 el soient a et b leurs points de contact. Les plans tma et tmb sont deux plans isotropes tangents à la courbe G et les génératrices correspondantes de la développable sont les droites isotropes /ua et mb. Remarquons maintenant que, la droite ab étant la polaire du point / par rapport à l'ombilicale, le

SUR l'emploi des imaginaires dans la géométrie dans l'espace. 133

plan méa est perpendiculaire à la tangente mt\ les génératrices de la développable, qui passent au point m, sont donc les deux droiles isotropes passant par ce point dans le plan normal à la courbe.

J'imagine maintenant une droite passant par le point m et par le point m', pris sur la courbe G, à une dislance infiniment petite de m. Les cônes isotropes avant ces deux points pour sommets se coupent suivant un cercle, dont le plan, perpendiculaire à mm'^ passe parle milieu de ce segment, et dont le ra^on, égal à mm'^ est par coaséquent infiniment petit. Le point m' venant à se confondre avec le point m, le plan du cercle d'intersection devient normal à la courbe au point m, le raj'on de ce cercle devient nul et ce cercle se réduit à deux droiles isotropes. Donc, quand une droite est tangente à une courbe gauche, le cercle, correspondant aux deux points de la courbe, qui sont réunis au point de contact, se compose des deux droites isotropes qui passent par ce point dans le plan normal à la courbe.

D'où cette conclusion : la développable isotrope, circonscrite à une courbe gauche, est la surface dérivée de celte courbe, lorsque la surlace réglée, qui fixe le groupement de ses points, est la développable formée par les tangentes à la courbe.

Appliquons ces résultats à la recherche de la focale d'une courbe spliérique quelconque H; Ton sait, d'ailleurs, que cette focale est la ligne double de la développable isotrope circonscrite à H.

En désignant par S la sphère qui contient celte courbe, pour qu un point donné m soit silué sur une surface S dérivée de H, il est nécessaire et suffisant que le plan, associé au point m par rapport à la sphère S (*), coupe la courbe H en deux points situés sur "ne génératrice de la surface réglée v, qui détermine le groupe- "îenlde points correspondant à la surface 2. Si Ton considère en parliculier la développable isotrope, qui correspond à la développable ajant H pour arête de rebrousseme nt, pour qu'un point m soilsiiuésur cette développable isotrope, il faut et il suffit que le plan associé au point m soit langent à la courbe H.

( ' ) Sur rexpression plan associé à un point, voir § 5.

SUR