LA RÈGLE DES SIGNES EN GÉOMÉTRIE

Nouvelles Annales de Mathématiques: iS;*».

1. Lorsque, dans une figure, Ton a à considérer des soj^menls comptés sur une même droite, ou des angles avant même sommet, tous les géomètres ont reconnu Tutilité et la nécessité d'aflecler un signe à ces segments et à ces angles; le Cours de Géométrie supérieure de M. Chasies offre un exemple des nombreux avantages que remploi de la règle des signes a ainsi introduits dans la Science.

Mais, lorsque Ton considère des segments comptés sur des droites dilïerenles ou des angles n'ajant pas le même sommet, il semble généralement admis que la règle des signes n'c>t plus applicable. M. Chasies, dans la Préface de son Cours, exprime formellement celte idée :

<( Si Ton ne démontre ordinairement , dit-il (Préface de la Géométrie supérieure, p. ix), une formule ou une relalion que par une certaine figure, et non dans l'état d'abstraction et de généralité qui permettrait, au moyen des signes -h el — an'cclrs aux segments et aux angles, pour marquer leur direction, de Tadapter à tous les états de la fii;ure, il est facile d'en reconnaître la raison. C'est que les propositions qui forment le plus ordinairement les éléments de démonstration, dans la Géométrie ancienne, ne comportent pas l'application dti principe des signes. Telles sont la proportionnalité des côtés homologues dans les triangles semblables, celle encore de la proportionnalité, dans tout triangle, des côtés aux sinus des angles opposés, La règle des signes ne s^appliguc point à ces propositions, puisque les segments que

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l'on y considère sont formés sur des lignes différentes y et les angles autour de sommets différents, »

Je me propose de faire voir, dans celle Noie, que, conlrairemenl à l'idée émise par Tilluslre géomèlre, la règle des signes s'applique à tous les théorèmes de Géométrie sans exception.

Je me bornerai à examiner, sous ce point de vue, la dernière des propositions mentionnées dans la citation que j'ai reproduite ci-dessus. Les considérations très simples qui, dans ce cas, résolvent la question, s'étendent d*elles-mémes à toutes les autres proposilions; ce théorème, d'ailleurs, est l'un de ceux dont l'usage esl le plus fréquent pour établir les relations qui existent entre des sej^menls comptés sur des droites différcnles, en sorte qu'il suffit presque d'établir, relativement à ce théorème, la règle des signes pour légitimer d'une façon générale l'emploi de cette règle.

î. Etant donnés un certain nombre de points silués sur une même droite, on peut assigner à celte droite un certain sens positif, en admettant qu'un point mobile, qui se mouvrait dans ce sens sur la droite, parcourt des longueurs posilives. Celte assignation pourra, dans la plupart des cas, être faite arbitrairement; dans d'autres cas, au contraire, elle devra être faite d'une manière déterminée, en sorte que cette détermination elle-même sera une parlie essentielle de la proposition de Géométrie que Ton aura à considérer.

Quoi qu'il en soit, celte assignation une fois faite, pour éviter toute confusion, je désignerai une droite sur laquelle on aura fixé le sens positif sous le nom de direction. Deux points A et B, se Irouvanl sur une direction donnée r/, le segment AB a un signe parfaitement déterminé, et il est clair que ce signe change quand on change la direction de d,

Elanl données deux directions a et 6, l'angle (a, 6) que fait la direction a avec la direction b est l'angle dont il faut faire tourner a autour de l'inlersecliou des deux droites jusqu'à ce que les deux directions s'appliquent l'une sur l'autre et soient dirigées dans le même sens. Cet angle, on le voit, est déterminé, à un multiple près d'une circonférence entière; son sinus et son cosinus sont donc aussi parfaitement déterminés.

Etant donné l'angle (a, 6) de deux directions, si l'une de ces

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direclions change de sens, Tangle est augmenté d'une demi-circonférence; par conséquent, le sinus et le cosinus de cet angle changent de signe.

3. Cela posé, nous pourrons énoncer de la façon suivante la proposition relative à la proportionnalité des côtés d'un triangle aux sinus des angles opposes.

Proposition. — Etant donné un triangle ABC, si ron assigne arbitrairement un sens positif aux trois droites qui forment les côtés de ce triangle^ et si Von désigne par a^ b^ c les trois directions ainsi obtenues, a étant la direction qui renferme les côtés B et C, etc^ on a les relations suivantes, qui comportent la règle des signes,