AB BC CA

sin(flr, 6) sinib^c) sin(c, «)

Pour démontrer cette proposition, il suffit d'assigner aux côtés du triangle une direction déterminée : on vérifie facilement l'exactitude des formules ci-dessus. On peut remarquer maintenant que l'on peul, sans qu'elles cessent d'être exactes, prendre un côté quelconque dans un sens inverse à celui que Ton considérait tout d'abord.

Supposons, par exemple, (|ue Ton change le sens de la direction a] BCclianp^era alors de signe, ainsi que sin(a, b) et sin(c, a); les autres quantités ne subissant aucun changement, l'on voit que, dans la série d'égalités précédentes, chaque terme aura changé de signe : l'égalité ne sera donc pas troublée.

4. La proposition précédente étant établie en toute rigueur, je m'en servirai pour démontrer la relation qui existe entre le rapport anharmonique d'un faisceau de quatre droites et le rapport anharmonique des quatre points où ce faisceau est coupé par une transversale quelconque.

M. Chasles {Géométrie supérieure, §XI[[), pour établir cette relation, emploie aussi la proposition précédente^ mais comme, pour lui, elle ne comporte pas l'emploi de la règle des signes, il démontre d'abord par son moyen que les deux rapports anharmo-