SUR LA RÈGLE DES SIGNES EN OÈOMF.TRIK

Diques ont la même valeur absolue; il prouve ensuite, par une considération directe, qu'ils ont le même signe.

Il est facile de voir que le théorème de la proportionnalité des côtés aux sinus suffit pour la démonstration de l'égalité des deux rapports.

Soit un faisceau de quatre dioites passant par un même point O ; assignons à chacune de ces droites un sens positif arbitraire, et soient a, />, c, d les quatre directions ainsi obtenues. Soient, de plus, A, B, C, D les points où une transversale quelconque coupe les droites de ce faisceau ; donnons à cette transversale un sens positif pris arbitrairement, et appelons o) la direction de cette transversale. Cela posé, en appliquant au triangle OAB la proposition énoncée ci-dessus, il viendra

AB ^ sin(6, a ) OA ~" sin(w, b) *

de même le triangle OAB donnera

d'où

on aurait de même

^'où enfin

AD si 11 (é/, a) OA ~" sin((0) d)

AB sin(6, a) sin(ai,rf) AD "" sin(u>, 6; siii 1^/-/, ^/)'

CB sin(6.r) sinfto, t/) CD ~ sin^tu, 6j sin(c^,c)

AB CB sin(a, b) sin(c, 6) AD ' CD ~ sin(a, d) ' siii(c, d)'

%2^1ilé qui, ainsi que la proposition dont j'étais parti, comporte la

''^gle des signes.

Il est à remarquer que la valeur du rapport anharmonique du

faisceau de quati-e droites donnée dans le second membre est

indépendante du sens positif que l'on a assigné à ces droites; car, ^* * on prend en sens contraire l'une de ces directions, la direc- ^'^n G par exemple, sin(rt, b) et sin(<7, d) changeant à la fois de ^^§ne, leur rapport reste invariable.

S. Sans multiplier davantage les exemples, j'énoncerai la conclusion suivante :

«» Lorsqu'un théorème relatif à des segments et à des angles

situés d^ine façon quelconque dans un plan est convenablement et complètement énoncé, il doit toujours comporter la règle des signes. »

Les divers théorèmes se distribuent en deux classes bien distinctes. Pour les uns, on peut choisir d'une façon arbitraire le sens dans lequel est prise la direction positive d\in certain nombre de droites, et alors le sens dans lequel on doit prendre les autres droites de la figure est déterminé par les théorèmes eux-mêmes, et cette détermination en est un élément essentiel : la façon dont elle est faite doit faire partie de l'énoncé lui-même de ces théorèmes .

Pour les autres, et ce sont les plus nombreux, le sens positif que Ton doit attribuer aux diverses droites de la figure est complètement arbitraire; et, si les théorèmes sont convenablement énoncés, ils doivent être vérifiés quelle que soit la façon dont on fasse cette attribution.

Les considérations qui précèdent ne sont pas sans doute de nature à trouver place dans renseignement élémentaire; leur Introduction compliquerait souvent et inutilement les questions; néanmoins, comme elles tiennent à un point de doctrine souvent controversé, j'ai cru qu'il n'était pas inutile de les présenter.