COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE QUELCONQUE

Bulletin de la Société philomathique; 1870.

ConsidéroDS une courbe tracée sur une surface quelconque et la normale dont elle est la directrice ; en chacun des points de cette courbe concevons que Ton porte sur la normale, à partir de ce point, une longueur N, fonction de la position du point sur la directrice. Cela posé, si Ton considère un point quelconque M de cette courbe et un point infiniment voisin M', en désignant par V et V les angles que font avec MM' les segments N etN' portés sur les normales en M et M', on trouve facilement que l'expression

(0 MM'(NcosV-f-N'cosV')

développée suivant la puissance croissante de ds, a pour valeur

I '^ ^«*-l- ^ [ -T~ ] d5*-t-des termes du degré supérieur au quatrième L

-"^où cette conclusion, que l'expression donnée ci-dessus est S^oêralement du troisième ordre, mais que quand elle est d'un Ofdre supérieur au troisième, elle est au moins du cinquième. ^our que K soit égal à zéro, il faut et il suffit que N satisfasse à équation diflerentielle

['x\ dS __ 2 dy] dfilniû i dp

N 3 tang(o sinco 3 p

formule où dri désigne l'angle de torsion au point donné, p le ^'^yon de courbure et w l'angle que fait avec la surface la normale Principale en ce point.