COURBES GAUCHES DU QUATRIÈME ORDRE

Journal de Mathématiques pures et appliquées; 1870.

Étant données dans Tespace une surface du second ordre et deux droites fixes, M. Chasies a démontré que, si une droite mobile était assujettie à rencontrer les deux droites fixes en s^appuyant sur la surface, la courbe de contact des droites mobiles était une courbe gauche du quatrième ordre, de Tespècc de celles par lesquelles on peut mener une infinité de surfaces du second ordre.

Inversement, étant donnée une courbe résultant de l'intersection de deux surfaces du second ordre, on peut se demander si elle peut toujours être engendrée par le procédé qui résulte de la proposition de M. Chasies, et, si elle peut l'être, comment l'on pourra déterminer une surface du second ordre et deux droites de façon à obtenir la génération de la courbe.

La Note qui suit a pour objet de résoudre cette question. Je montre que par la courbe donnée on peut toujours faire passer six surfaces qui permettent la génération indiquée par M. Chasies, et que. Tune des surfaces étant choisie, on peut encore choisir d'une iuGnité de façons les deux droites fixes.

La proposition suivante montrera comment on peut résoudre le problème que je m'étais proposé.

Par la courbe donnée passent quatre cônes dont les sommets forment un tétraèdre. Prenons arbitrairement deux arêtes opposées de ce tétraèdre et menons une droite quelconque qui, s'appuyant sar ces arêtes, rencontre la courbe en un point A : on sait alors qu'elle la rencontre en un autre point B.

Par la droite AB on peut mener quatre plans qui touchent u courbe; les quatre points de contact sont les sommets duu tétraèdre; deux arêtes opposées de ce tétraèdre rencontrent 1» deux arcles opposées du tétraèdre dont j'ai parlé plus haut et dont les sommets sont les sommets des quatre cônes. Soient CC et Dl/ CCS deux arcles; C, C, D et D' étant les quatre points de conU^^ avec la courbe.

Choisissons arbitrairement Tune de ces arêtes, CC par exemple'» les quatre droites AC, AC, BC et BC sont situées sur une même surface du second ordre S passant par la courbe donnée. Cela posé •

Si une droite mobile rencontre à chaque instant les droites A*^ et DD' en s*appuvaul sur la surface S, elle la louchera précise-* ment le long de la courbe donnée.

I^s propositions sur lesquelles je me suis appuyé pour la sol**^ lion de ce problème se rattachent étroitement, comme je m ^^ suis aperçu en rédigeant cette Note, aux théorèmes donnés p^*" M. Hesse clans son beau Mémoire Sur les courbes du iroisièiP^^ ordre {C relie, t. 18); théorèmes qui, du reste, si Ton vci*^ remonter plus haut, se trouvent, quant au fond, dans une No*-^ très courte Sur les focales publiée par M. Van Reiss dans 1^ Tome V du Journal de Quetelet,

Les surfaces réglées du quatrième ordre qui se présentent dans cette ]\ote sont en elles-mêmes très intéressantes, et je les avai^ déjà rencontrées en étudiant certains théorèmes de M. W. Roberts relatifs aux surfaces du second ordre que j^ai pu, parleur moven, étendre aux surfaces du quatrième ordre ayant une conique double.

Du reste, M. de la Gournerie s'était déjà auparavant occupé, d'une façon toute spéciale, de ces surfaces réglées; je n'en parlerai donc ici qu'accidentellement, en me contentant de mentionner la définition très simple que Ton en peut donner en s'appuyant sur la théorie des fonctions elliptiques, et je renverrai le lecteur curieux de poursuivre celte recherche, à l'Ouvrage très complet que M. do la Gournerie a publié à ce sujet.

1. Dans tout ce qui suit, je désignerai sous le nom de biquadratique gauche , ou simplement sous le nom de biquadratique, riutersection de deux surfaces du second ordre.

PROBLEME RELATIF AUX COURBES GAUCHES DU QUATRIÈME ORDRE. l43

Bien que toutes les propositions sur lesquelles je m'appuierai paissent s'établir facilement par des considéralions de pure Géométrie (elles se déduisent immédiatement des relations très simples que M. Chasles a données dans sa Géométrie supérieure, p. nj, entre trois couples de points en involution et leurs points milieux), j*ai cru, pour abréger, pouvoir me servir de la belle théorie fondée par M. Clebsch.

En ce qui concerne les biquadratiques gauches, la théorie de M. Clebsch peut s'établir d'une façon très simple et très facile; mais, quoique la démonstration de ses formules, dans ce cas spécial, puisse donner lieu à quelques remarques dignes d'intérêt, je me contenterai de renvover le lecteur aux divers Mémoires qu'il a publiés sur ce sujet (*), en exposant brièvement ceux des résultais qu'il a obtenus, sur lesquels je m'appuierai.

2. Soit tracée, sur une surface du second ordre S, une biqua- "''aiique quelconque K, A celte courbe se rattache une intégrale ^Wipiique (^); on peut concevoir que la valeur de la variable qui ^^Iredans cette intégrale soit à chaque instant fixée par la posi- ^*oii d'un point mobile sur la biquadratique, ou que le déplacement du point mobile de la courbe détermine la variation de la Variable.

Etant pris, sur la courbe, un point arbitraire co, qui corresponde à la valeur de la variable prise pour limite inférieure de l'intégrale; si le point mobile, qui fixe à chaque instant la valeur de cette variable, se meut sur la courbe jusqu'à un point donné A, On obtiendra pour l'intégrale considérée une valeur parfaitement déterminée. Cette valeur, cependant, ne sera pas entièrement déterminée par la seule connaissance du point A; elle dépend, comme on le sait, du chemin que Ton a suivi pour se mouvoir.

(') Voir notamment le Mémoire Ueber die Anwendung der Abelschen Functionen in der Géométrie ( CreUe, t. 63 ).

(^) Quand la courbe est tracée sur une sphère, cette intégrale prend une forme géométrique très simple; en désignant par M un point quelconque de cette courbe, par F, G, H, K ses quatre foyers réels, elle s'exprime de la façon suivante

ds

J V^Ml^-

MG.MH.MK

l44 OéOMÉTRIE.

sur la courbe, du point u) au point A; et, d'après le chemin qu^on a suivi, la valeur de l'intégrale peut demeurer la même, ou être augmentée d*un multiple quelconque de Tune des deux périodes qui appartiennent à Fintégrale elliptique considérée. Dans tout ce qui suit, je désignerai constamment ces deux périodes par 2/7 et aqr, en posant, pour abréger, /? -|-y = r, ar étant une autre période de Pintégrale dépendant des deux premières.

Lorsqu^on se donne la valeur de l'intégrale, prise à partir du point origine co, le point A qui correspond à la valeur extrême de la variable est complètement déterminé; mais, lorsqu'on se donne au contraire ce point A, la valeur de l'intégrale n'est déterminée qu'à un multiple près de 2/7 et de ^q.

Cela posé, la proposition fondamentale donné par M. Clebsch, sur laquelle je m'appuierai dans tout ce qui suit, peut s'énoncer ainsi :

«Si Von coupe la biquadratique K par un plan qui la ren^ contre aux points A, B, C et D, la somme des quatre intégrales dont les limites supérieures sont caractérisées par les points A, B, C c^ D est une quantité constante, quelle que soit la position du plan, ou, du moins, cette quantité ne peut varier que de multiples des deux périodes ip et iq.

Pour exprimer ce genre de relation, on peut employer avec avantage le signe de la congruence de Gauss, et écrire simplement

a désignant une quantité constante.

Comme jusqu'ici l'origine co a été prise arbitrairement, rien n'empêche de la choisir de telle sorte que la constante a soit nulle; en sorte que Ton aura simplement

(I) A-+. B-+-C-f- Dso.

Dans cette congruence, A ne représente pas le point A, mais l'intégrale qui s'étend depuis l'origine fixe jusqu'à ce point. Il n'y a d'ailleurs lieu de redouter aucune confusion dans ce double emploi d'une même lettre pour représenter un point et une intégrale, la présence du signe de la congruence suffisant pour fixer le sens que l'on doit y attacher.

PROBLÈME RELATIF AUX COURBES GAUCHES DU QUATRIÈME ORDRE. l45

3. La congruence (i) exprime la conditioa nécessaire et suffisante pour que quatre points A, B, ^C, D de la biquadratique soient dans un même plan.

Soient A et B deux points donnés de cette courbe, il existe une surface du second ordre S, bien déterminée, qui passe par la courbe et qui a la droite AB pour génératrice. Si, par AB, on mène un plan quelconque rencontrant la courbe aux points K et Y^ la droite XY est, comme on le sait, Tune quelconque des génératrices du second système de cette surface.

Or, d'après la relation (i), on a